2020届高考数学理一轮复习讲义62等差数列及其前n项和

§6.2等差数列及其前n项和最新考纲考情考向分析1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.主要考查等差数列的基本运算、基本性质，等差数列的证明也是考查的热点.本节内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查.解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查.难度中低档.1.等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.3.等差中项如果三个数x，A，y组成等差数列.那么A叫做x与y的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列.(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列.(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列.(7)若{an}是等差数列，则Snn也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差为12d.5.等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝na1＋an2或Sn＝na1＋nn－12d.6.等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝d2n2＋a1－d2n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).7.等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值.概念方法微思考1.“a，A，b是等差数列”是“A＝a＋b2”的什么条件？提示充要条件.2.等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？提示不一定.当公差d＝0时，Sn＝na1，不是关于n的二次函数.3.如何推导等差数列的前n项和公式？提示利用倒序相加法.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(×)(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(√)(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(×)(4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.(√)(5)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2.(√)(6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列.(√)题组二教材改编2.设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于()A.31B.32C.33D.34答案B解析由已知可得a1＋5d＝2，5a1＋10d＝30，解得a1＝263，d＝－43，∴S8＝8a1＋8×72d＝32.3.在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.答案180解析由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.题组三易错自纠4.一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是()A.d875B.d325C.875d325D.875d≤325答案D解析由题意可得a101，a9≤1，即125＋9d1，125＋8d≤1，所以875d≤325.故选D.5.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a90，a7＋a100，则当n＝________时，{an}的前n项和最大.答案8解析因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a80，所以a80.又a7＋a10＝a8＋a90，所以a90.故当n＝8时，其前n项和最大.6.一物体从1960m的高空降落，如果第1秒降落4.90m，以后每秒比前一秒多降落9.80m，那么经过________秒落到地面.答案20解析设物体经过t秒降落到地面.物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.所以4.90t＋12t(t－1)×9.80＝1960，即4.90t2＝1960，解得t＝20.题型一等差数列基本量的运算1.(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于()A.－12B.－10C.10D.12答案B解析设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得33a1＋3×3－12×d＝2a1＋2×2－12×d＋4a1＋4×4－12×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.2.(2018·阜新模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若6a3＋2a4－3a2＝5，则S7等于()A.28B.21C.14D.7答案D解析由6a3＋2a4－3a2＝5，得6(a1＋2d)＋2(a1＋3d)－3(a1＋d)＝5a1＋15d＝5(a1＋3d)＝5，即5a4＝5，所以a4＝1，所以S7＝7×a1＋a72＝7×2a42＝7a4＝7.故选D.思维升华(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个.(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.题型二等差数列的判定与证明例1在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项.(1)求证：数列1an－1是等差数列，并求{}an的通项公式；(2)求数列1n2an的前n项和Sn.解(1)∵an是1与anan＋1的等差中项，∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝2an－1an，∴an＋1－1＝2an－1an－1＝an－1an，∴1an＋1－1＝anan－1＝1＋1an－1，∵1a1－1＝1，∴数列1an－1是首项为1，公差为1的等差数列，∴1an－1＝1＋(n－1)＝n，∴an＝n＋1n.(2)由(1)得1n2an＝1nn＋1＝1n－1n＋1，∴Sn＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.思维升华等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数.(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列.(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列.跟踪训练1数列{an}满足an＋1＝an2an＋1，a1＝1.(1)证明：数列1an是等差数列；(2)求数列1an的前n项和Sn，并证明：1S1＋1S2＋…＋1Snnn＋1.(1)证明∵an＋1＝an2an＋1，∴1an＋1＝2an＋1an，化简得1an＋1＝2＋1an，即1an＋1－1an＝2，故数列1an是以1为首项，2为公差的等差数列.(2)解由(1)知1an＝2n－1，所以Sn＝n1＋2n－12＝n2，1Sn＝1n21nn＋1＝1n－1n＋1.证明：1S1＋1S2＋…＋1Sn＝112＋122＋…＋1n211×2＋12×3＋…＋1nn＋1＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.题型三等差数列性质的应用命题点1等差数列项的性质例2(2018·本溪模拟)已知{an}为等差数列，a2＋a8＝18，则{an}的前9项和S9等于()A.9B.17C.72D.81答案D解析由等差数列的性质可得，a1＋a9＝a2＋a8＝18，则{an}的前9项和S9＝9a1＋a92＝9×182＝81.故选D.命题点2等差数列前n项和的性质例3(1)(2019·锦州质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于()A.35B.42C.49D.63答案B解析在等差数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7,14，S15－21成等差数列，所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2018，S20192019－S20132013＝6，则S2020＝________.答案2020解析由等差数列的性质可得Snn也为等差数列.设其公差为d，则S20192019－S20132013＝6d＝6，∴d＝1.故S20202020＝S11＋2019d＝－2018＋2019＝1，∴S2020＝1×2020＝2020.思维升华等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq.(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an.跟踪训练2(1)已知等差数列{an}，a2＝2，a3＋a5＋a7＝15，则数列{an}的公差d等于()A.0B.1C.－1D.2答案B解析∵a3＋a5＋a7＝3a5＝15，∴a5＝5，∴a5－a2＝3＝3d，可得d＝1，故选B.(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S130，S140，则Sn取最大值时n的值为()A.6B.7C.8D.13答案B解析根据S130，S140，可以确定a1＋a13＝2a70，a1＋a14＝a7＋a80，所以可以得到a70，a80，所以Sn取最大值时n的值为7，故选B.1.若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于()A.－2B.－12C.12D.2答案B解析由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，则a1＝1.又由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－12.故选B.2.在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＋a4＝24，则a4＋a5＋a6等于()A.38B.39C.41D.42答案D解析由a1＝2，a2＋a3＋a4＝24，可得，3a1＋6d＝24，解得d＝3，∴a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝42.故选D.3.已知等差数列{an}中，a1012＝3，S2017＝2017，则S2020等于()A.2020B.－2020C.－4040D.4040答案D解析由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得，S2017＝a1＋a20172×2017＝2a10092×2017＝2017a1009＝2017，则a1009＝1，据此可得，S2020＝a1＋a20202×2020＝1010()a1009＋a1012＝1010×4＝4040.4.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为()A.65B.176C.183D.184答案D解析根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996.由等差数列前n项和公式可得8a1＋8×72×17＝9