2020届高考数学理一轮复习讲义31导数的概念及运算

§3.1导数的概念及运算最新考纲考情考向分析1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.1．平均变化率一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商fx0＋Δx－fx0Δx＝ΔyΔx，称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率．2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．函数f(x)的导函数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)或y′(或y′x)．4．基本初等函数的导数公式表y＝f(x)y′＝f′(x)y＝cy′＝0y＝xn(n∈N＋)y′＝nxn－1，n为正整数y＝xμ(x0，μ≠0且μ∈Q)y′＝μxμ－1，μ为有理数y＝ax(a0，a≠1)y′＝axlnay＝logax(a0，a≠1，x0)y′＝1xlnay＝sinxy′＝cosxy＝cosxy′＝－sinx5.导数的四则运算法则设f(x)，g(x)是可导的，则(1)(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)fxgx′＝gxf′x－fxg′xg2x(g(x)≠0)．6．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．概念方法微思考1．根据f′(x)的几何意义思考一下，|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？提示|f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭．2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？提示不一定．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(×)(2)f′(x0)＝[f(x0)]′.(×)(3)(2x)′＝x·2x－1.(×)(4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.(×)题组二教材改编2．若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝________.答案2e解析∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.3．曲线y＝1－2x＋2在点(－1，－1)处的切线方程为____________．答案2x－y＋1＝0解析∵y′＝2x＋22，∴y′|x＝－1＝2.∴所求切线方程为2x－y＋1＝0.题组三易错自纠4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()答案D解析由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.5．设f(x)＝ln(3－2x)＋cos2x，则f′(0)＝________.答案－23解析因为f′(x)＝－23－2x－2sin2x，所以f′(0)＝－23.6．(2017·天津)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．答案1解析∵f′(x)＝a－1x，∴f′(1)＝a－1.又∵f(1)＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.题型一导数的计算1．已知f(x)＝sinx21－2cos2x4，则f′(x)＝________.答案－12cosx解析因为y＝sinx2－cosx2＝－12sinx，所以y′＝－12sinx′＝－12(sinx)′＝－12cosx.2．已知f(x)＝ln2x－12x＋1，则f′(x)＝________.答案44x2－1解析y′＝ln2x－12x＋1′＝12x－12x＋12x－12x＋1′＝2x＋12x－1·2x－1′2x＋1－2x－12x＋1′2x＋12＝44x2－1.3．f(x)＝x(2019＋lnx)，若f′(x0)＝2020，则x0＝______.答案1解析f′(x)＝2019＋lnx＋x·1x＝2020＋lnx，由f′(x0)＝2020，得2020＋lnx0＝2020，∴x0＝1.4．若f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝________.答案－4解析∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.思维升华1.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错．2．(1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例1(1)已知函数f(x＋1)＝2x＋1x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()A．1B．－1C．2D．－2答案A解析由f(x＋1)＝2x＋1x＋1，知f(x)＝2x－1x＝2－1x.∴f′(x)＝1x2，∴f′(1)＝1.由导数的几何意义知，所求切线的斜率k＝1.(2)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为______________．答案x－y－1＝0解析∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上，∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋lnx，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋lnx0)x.∴由y0＝x0lnx0，y0＋1＝1＋lnx0x0，解得x0＝1，y0＝0.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.命题点2求参数的值例2(1)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b＝________.答案1解析由题意知，y＝x3＋ax＋b的导数为y′＝3x2＋a，则13＋a＋b＝3，3×12＋a＝k，k＋1＝3，由此解得k＝2，a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1.(2)已知f(x)＝lnx，g(x)＝12x2＋mx＋72(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝________.答案－2解析∵f′(x)＝1x，∴直线l的斜率k＝f′(1)＝1.又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝12x20＋mx0＋72，m0，∴m＝－2.命题点3导数与函数图象例3(1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()答案B解析由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.(2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝______.答案0解析由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－13，∴f′(3)＝－13.∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×－13＝0.思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0)．(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由y1＝fx1，y0－y1＝f′x1x0－x1求解即可．(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况．跟踪训练(1)(2018·全国Ⅰ)已知f(x)＝x2，则曲线y＝f(x)过点P(－1,0)的切线方程是______________________．答案y＝0或4x＋y＋4＝0解析设切点坐标为(x0，x20)，∵f′(x)＝2x，∴切线方程为y－0＝2x0(x＋1)，∴x20＝2x0(x0＋1)，解得x0＝0或x0＝－2，∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)，即y＝0或4x＋y＋4＝0.(2)设曲线y＝1＋cosxsinx在点π2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝________.答案－1解析∵y′＝－1－cosxsin2x，∴2|1.xy＝＝－由条件知1a＝－1，∴a＝－1.(3)(2018·沈阳模拟)函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是__________．答案(－∞，2)解析函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．所以f′(x)＝1x＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－1x.因为x0，所以2－1x2，所以a的取值范围是(－∞，2)．1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)答案C解析f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)·(2x－2a)＝(x－a)·(x－a＋2x＋4a)＝3(x2－a2)．2．已知函数f(x)＝1xcosx，则f(π)＋f′π2等于()A．－3π2B．－1π2C．－3πD．－1π答案C解析因为f′(x)＝－1x2cosx＋1x(－sinx)，所以f(π)＋f′π2＝－1π＋2π×(－1)＝－3π.3．(2018·包头调研)设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0的值为()A．e2B．eC.ln22D．ln2答案B解析由f(x)＝xlnx，得f′(x)＝lnx＋1.根据题意知，lnx0＋1＝2，所以lnx0＝1，即x0＝e.4．曲线y＝sinx＋ex在点(0,1)处的切线方程是()A．x－3y＋3＝0B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0D．3x－y＋1＝0答案C解析y′＝cosx＋ex，故切线斜率k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.5．已知点P在曲线y＝4ex＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(