2020届高考数学理一轮复习讲义24幂函数与二次函数

§2.4幂函数与二次函数最新考纲考情考向分析1.了解幂函数的概念．2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝12x的图象，了解它们的变化情况．3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝xy＝x2y＝x3y＝12xy＝x－1图象性质定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)2．二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)图象定义域RR值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a单调性在x∈－∞，－b2a上单调递减；在x∈－b2a，＋∞上单调递增在x∈－∞，－b2a上单调递增；在x∈－b2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于直线x＝－b2a对称概念方法微思考1．二次函数的解析式有哪些常用形式？提示(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f(x)≥0恒成立的条件．提示a0且Δ≤0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.(×)(2)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(√)(3)函数y＝212x是幂函数．(×)(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(√)(5)当n0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(×)题组二教材改编2．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点12，22，则k＋α等于()A.12B．1C.32D．2答案C解析由幂函数的定义，知k＝1，22＝k·12α.∴k＝1，α＝12.∴k＋α＝32.3．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是()A．a≥3B．a≤3C．a－3D．a≤－3答案D解析函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.题组三易错自纠4．幂函数f(x)＝21023aax－＋(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于()A．3B．4C．5D．6答案C解析因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，f(x)＝2(5)2ax－－(a∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，所以(a－5)2－20，从而a＝4,5,6，又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.5．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是______．答案－1解析函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝321，∴函数y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上单调递减，∴ymin＝2－6＋3＝－1.6．设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a0)，若f(m)0，则f(m－1)________0.(填“”“”或“＝”)答案解析f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝12，且f(1)0，f(0)0，而f(m)0，∴m∈(0,1)，∴m－10，∴f(m－1)0.题型一幂函数的图象和性质1．若幂函数的图象经过点2，14，则它的单调递增区间是()A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞)D．(－∞，0)答案D解析设f(x)＝xα，则2α＝14，α＝－2，即f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D.2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A．dcbaB．abcdC．dcabD．abdc答案B解析由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知abcd，故选B.3．已知幂函数f(x)＝223(22)nnnnx－＋－(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3B．1C．2D．1或2答案B解析由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B.4．(2018·阜新模拟)若13(1)a＋13(32)a－，则实数a的取值范围是____________．答案(－∞，－1)∪23，32解析不等式13(1)a＋13(32)a－等价于a＋13－2a0或3－2aa＋10或a＋103－2a，解得a－1或23a32.思维升华(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．题型二求二次函数的解析式例1(1)已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)的解析式为________________．答案f(x)＝x2－2x＋3解析由f(0)＝3，得c＝3，又f(1＋x)＝f(1－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴b2＝1，∴b＝2，∴f(x)＝x2－2x＋3.(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.答案x2＋2x解析设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由4a×0－4a24a＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.思维升华求二次函数解析式的方法跟踪训练1(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.答案x2＋2x＋1解析设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a(a≠0)，又f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.答案x2－4x＋3解析因为f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，又f(x)的图象过点(4,3)，所以3a＝3，即a＝1，所以f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.题型三二次函数的图象和性质命题点1二次函数的图象例2(2018·鄂尔多斯模拟)一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()答案C解析若a0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a0，b0，从而－b2a0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C.命题点2二次函数的单调性例3函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是()A．[－3,0)B．(－∞，－3]C．[－2,0]D．[－3,0]答案D解析当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝3－a2a，由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知a0，3－a2a≤－1，解得－3≤a0.综上，a的取值范围为[－3,0]．引申探究若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.答案－3解析由题意知f(x)必为二次函数且a0，又3－a2a＝－1，∴a＝－3.命题点3二次函数的最值例4已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．解f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.(1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝38；(3)当a0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.综上可知，a的值为38或－3.引申探究将本例改为：求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1,2]上的最大值．解f(x)＝(x＋a)2＋1－a2，∴f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a.(1)当－a12即a－12时，f(x)max＝f(2)＝4a＋5，(2)当－a≥12即a≤－12时，f(x)max＝f(－1)＝2－2a，综上，f(x)max＝4a＋5，a－12，2－2a，a≤－12.命题点4二次函数中的恒成立问题例5(1)已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，若不等式f(x)2x＋m在区间[－1,1]上恒成立，则实数m的取值范围为____________．答案(－∞，－1)解析设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，得c＝1，又f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x，所以a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1.f(x)2x＋m在区间[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1－m0在[－1,1]上恒成立，令g(x)＝x2－3x＋1－m＝x－322－54－m，x∈[－1,1]，g(x)在[－1,1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m0，所以m－1.(2)函数f(x)＝a2x＋3ax－2(a1)，若在区间[－1,1]上f(x)≤8恒成立，则a的最大值为________．答案2解析令ax＝t，因为a1，x∈[－1,1]，所以1a≤t≤a，原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，t∈1a，a，显然g(t)在1a，a上单调递增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8恒成立，所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a1，所以a的最大值为2.思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．跟