2020届高考数学理一轮复习讲义13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词

§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲考情考向分析1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2.理解全称量词和存在量词的意义．3.能正确地对含一个量词的命题进行否定.逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为选择、填空题，低档难度.1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断pqp且qp或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x∈M，¬p(x)存在性命题存在M中的一个x，使p(x)成立∃x∈M，p(x)∀x∈M，¬p(x)概念方法微思考含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？提示p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p，¬p：真假相反．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．(√)(2)命题p和¬p不可能都是真命题．(√)(3)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．(×)(4)命题¬(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．(×)题组二教材改编2．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬p，¬q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4答案B解析p和q显然都是真命题，所以¬p，¬q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．3．命题“正方形都是矩形”的否定是_________________________________________．答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形题组三易错自纠4．已知命题p，q，“¬p为真”是“p∧q为假”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由¬p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而¬p为假，故“¬p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件，故选A.5．已知命题p：“ab”是“2a2b”的充要条件；q：∃x∈R，|x＋1|≤x，则()A．(¬p)∨q为真命题B．p∨q为真命题C．p∧q为真命题D．p∧(¬q)为假命题答案B解析由函数y＝2x是R上的增函数，知命题p是真命题．对于命题q，当x＋1≥0，即x≥－1时，|x＋1|＝x＋1x；当x＋10，即x－1时，|x＋1|＝－x－1，由－x－1≤x，得x≥－12，无解，因此命题q是假命题．所以(¬p)∨q为假命题，A错误；p∨q为真命题，B正确；p∧q为假命题，C错误；p∧(¬q)为真命题，D错误．6．若“∀x∈0，π4，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．答案1解析∵函数y＝tanx在0，π4上是增函数，∴ymax＝tanπ4＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1.∴m的最小值为1.题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断1．命题p：若sinxsiny，则xy；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是()A．p或qB．p且qC．qD．¬p答案B解析取x＝π3，y＝5π6，可知命题p是假命题；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q是真命题，故¬p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题．2．设命题p：函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝13x＋1的值域为(0,1)，则下列命题是真命题的为()A．p∧qB．p∨qC．p∧(¬q)D．¬q答案B解析函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是(2，＋∞)，所以命题p为假命题．由3x0，得013x＋11，所以函数y＝13x＋1的值域为(0,1)，故命题q为真命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(¬q)为假命题，¬q为假命题．故选B.3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(¬p)∨(¬q)为假．其中，正确的是________．(填序号)答案②解析命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．思维升华“p∨q”“p∧q”“¬p”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∧q”“p∨q”“¬p”等形式命题的真假．题型二含有一个量词的命题命题点1全称命题、存在性命题的真假例1(1)(2018·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是()A．∀n∈R，n2≥nB．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝mC．∀n∈R，∃m∈R，m2nD．∀n∈R，n2n答案B解析对于选项A，令n＝12，即可验证其不正确；对于选项C，D，可令n＝－1加以验证，均不正确，故选B.(2)下列命题中的假命题是()A．∀x∈R,2x－10B．∀x∈N＋，(x－1)20C．∃x∈R，lgx1D．∃x∈R，tanx＝2答案B解析当x∈N＋时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B.命题点2含一个量词的命题的否定例2(1)已知命题p：“∃x∈R，ex－x－1≤0”，则¬p为()A．∃x∈R，ex－x－1≥0B．∃x∈R，ex－x－10C．∀x∈R，ex－x－10D．∀x∈R，ex－x－1≥0答案C解析根据全称命题与存在性命题的否定关系，可得¬p为“∀x∈R，ex－x－10”，故选C.(2)(2018·福州质检)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则¬p是()A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0答案C解析已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则¬p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0，故选C.思维升华(1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立．(2)对全称(存在性)命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；②对原命题的结论进行否定．跟踪训练1(1)下列命题中的真命题是()A．∃x∈R，使得sinx＋cosx＝32B．∀x∈(0，＋∞)，exx＋1C．∃x∈(－∞，0)，2x3xD．∀x∈(0，π)，sinxcosx答案B解析∵sinx＋cosx＝2sinx＋π4≤232，故A错误；设f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，又f(0)＝0，∴∀x∈(0，＋∞)，f(x)0，即exx＋1，故B正确；当x0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；∵当x∈0，π4时，sinxcosx，故D错误．故选B.(2)已知命题p：∃x∈R，log2(3x＋1)≤0，则()A．p是假命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)0C．p是真命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)0答案B解析因为3x0，所以3x＋11，则log2(3x＋1)0，所以p是假命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)0.故选B.题型三命题中参数的取值范围例3(1)(2018·包头质检)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为____________．答案[e,4]解析若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e,4]．(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝12x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．答案14，＋∞解析当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥14－m，所以m≥14.引申探究本例(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．答案12，＋∞解析当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m，由f(x)min≥g(x)max，得0≥12－m，∴m≥12.思维升华(1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练2(1)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋152a0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是______________．答案56，＋∞解析由“∀x∈R，x2－5x＋152a0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋152a0对任意实数x恒成立．设f(x)＝x2－5x＋152a，则其图象恒在x轴的上方．故Δ＝25－4×152a0，解得a56，即实数a的取值范围为56，＋∞.(2)已知c0，且c≠1，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈12，2时，函数f(x)＝x＋1x1c恒成立．如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则c的取值范围为________．答案0，12∪(1，＋∞)解析由命题p为真知，0c1，由命题q为真知，2≤x＋1x≤52，要使x＋1x1c恒成立，需1c2，即c12，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则p，q中必有一真一假，当p真q假时，c的取值范围是0c≤12；当p假q真时，c的取值范围是c1.综上可知，c的取值范围是0，12∪(1，＋∞)．常用逻辑用语有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．一、命题的真假判断例1(1)下列命题的否定为假命题的是________．(填序号)①∀x∈R，－x2＋x－10；②∀x∈R，|x|x；③∀x，y∈Z,2x－5y≠12；④∀x∈R，sin2x＋sinx＋1＝0.答案①解析命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．(2)已知命题p：∀x∈R，log2(x2＋4)≥2，命题q：y＝12x是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是()A．p∨(¬q)B．p∧qC．(¬p)∨qD．(¬p)∧(¬q)答案A解析命题p：函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2，即命题p是真命题，因此¬p为假命题；命题q：y＝12x在定义域上是增函数，故命题q是假命题，¬q是真命题．因此选