2020版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第4节函数yAsinx的图象及三角函数模型的简单应用

第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用[考纲传真]1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.五点法作图ωx＋φ0π2π3π22πx－φωπ2－φωπ－φω32π－φω2π－φωy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.三角函数图象变换的两种方法(ω＞0)先平移后伸缩先伸缩后平移⇓⇓[常用结论]1．由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换中，应向左平移φω个单位长度，而非φ个单位长度．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝sinx－π4的图象是由y＝sinx＋π4的图象向右平移π2个单位长度得到的．()(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．()(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.()(4)把y＝sinx的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y＝sin12x.()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)y＝2sin2x－π4，x∈[0，＋∞)的振幅、频率和初相分别为()A．2，1π，－π4B．2，12π，－π4C．2，1π，－π8D．2，12π，－π8A[振幅为2，频率为1T＝1π，初相为－π4，故选A.]3．为了得到函数y＝2sin2x－π3的图象，可以将函数y＝2sin2x的图象()A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π3个单位长度A[y＝2sin2x－π3＝2sin2x－π6，故选A.]4．函数y＝sin2x－π3在区间－π2，π上的简图是()A[当x＝－π2时，y＝sin2×－π2－π3＝－sinπ＋π3＝sinπ3＝32＞0，排除B、D.当x＝π6时，y＝sin2×π6－π3＝sin0＝0，故排除C，故选A.]5．用五点法作函数y＝sinx－π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.π6，0；2π3，1；7π6，0；5π3，－1；13π6，0[令x－π6分别等于0，π2，π，3π2，2π可得x的值分别为π6，2π3，7π6，5π3，13π6，则需确定的五个点为π6，0，2π3，1，7π6，0，5π3，－1，13π6，0.]五点法作图及图象变换【例1】(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin2x＋2π3，则下面结论正确的是()A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2D[因为y＝sin2x＋2π3＝cos2x＋2π3－π2＝cos2x＋π6，所以曲线C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos2x，再把得到的曲线y＝cos2x向左平移π12个单位长度，得到曲线y＝cos2x＋π12＝cos2x＋π6，故选D.](2)已知函数f(x)＝12sinωx＋32cosωx(ω＞0)的最小正周期为π.①求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象；②函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到？[解]①由题意知f(x)＝sinωx＋π3，因为T＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，故f(x)＝sin2x＋π3.列表如下：2x＋π3π3π2π3π22π7π3x0π12π37π125π6πf(x)3210－1032y＝f(x)在[0，π]上的图象如图所示．②将y＝sinx的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，得到函数y＝sinx＋π3的图象，再将y＝sinx＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数f(x)＝sin2x＋π3(x∈R)的图象．[规律方法]函数y＝Aωx＋φA＞0，ω＞的图象的两种作法,变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用确定平移单位.用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取来求出相应的x，通过列表，描点得出图象.如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定.(1)把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标都缩小为原来的12，纵坐标保持不变，再把图象向右平移π6个单位长度，则所得图象的解析式为()A．y＝sin2x－π3B．y＝sin2x－π6C．y＝sinx2－π3D．y＝sinx2－π6(2)(2019·宝鸡模拟)为了得到函数y＝sin2x－π3的图象，只需把函数y＝cos2x－4π3的图象()A．向左平移π4个单位长度B．向右平移π4个单位长度C．向左平移π2个单位长度D．向右平移π2个单位长度(1)A(2)A[(1)把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到y＝sin2x的图象，再把y＝sin2x的图象向右平移π6个单位长度，得到y＝sin2x－π6，即y＝sin2x－π3的图象，故选A.(2)y＝cos2x－4π3＝sinπ2＋2x－4π3＝sin2x－5π12，故要得到函数y＝sin2x－π3的图象，只需要平移x－π6－x－5π12＝π4个单位长度，又π4＞0，所以应向左平移，故选A.]求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式【例2】(1)(2019·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x1，x2∈－π6，π3，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝()A.12B.22C.32D．1(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，x∈R，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为f(x)＝________.(1)C(2)2sin2x－π3＋1[(1)由题图知，T2＝π2，即T＝π，则ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，因为点π3，0在函数f(x)的图象上，所以sin2×π3＋φ＝0，即2π3＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，所以φ＝2kπ＋π3，k∈Z，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f(x)＝sin2x＋π3，因为x1，x2∈－π6，π3，且f(x1)＝f(x2)，所以x1＋x22＝π12，所以x1＋x2＝π6，所以f(x1＋x2)＝sin2×π6＋π3＝32.(2)由题图可知，函数的最大值为A＋B＝3，最小值为－A＋B＝－1，解得A＝2，B＝1.函数的最小正周期为T＝2×5π12－－π12＝π，由2πω＝π，解得ω＝2.由f－π12＝2sin2×－π12＋φ＋1＝－1，得sinφ－π6＝－1，故φ－π6＝2kπ－π2(k∈Z)，解得φ＝2kπ－π3(k∈Z)，又因为|φ|＜π，所以φ＝－π3.所以f(x)＝2sin2x－π3＋1.][规律方法]确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.(2)求ω：确定函数的最小正周期T，则可得ω＝2πT.(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点)时ωx＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝3π2＋2kπ，k∈Z.(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，fπ2＝－23，则f－π6＝()A．－23B．－12C.23D.12(2)(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω0，|φ|π.若f5π8＝2，f11π8＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则()A．ω＝23，φ＝π12B．ω＝23，φ＝－11π12C．ω＝13，φ＝－11π24D．ω＝13，φ＝7π24(1)A(2)A[(1)由题图知T2＝11π12－7π12＝π3，所以T＝2π3，即ω＝3，当x＝7π12时，y＝0，即3×7π12＋φ＝2kπ－π2，k∈Z，所以φ＝2kπ－9π4，k∈Z，即k＝1时，φ＝－π4，所以f(x)＝Acos3x－π4.即Acos3π2－π4＝－23，得A＝223，所以f(x)＝223cos3x－π4，故f－π6＝223cos－π2－π4＝－23.(2)∵f5π8＝2，f11π8＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，∴f(x)的最小正周期为411π8－5π8＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f(x)＝2sin23x＋φ.∴2sin23×5π8＋φ＝2，得φ＝2kπ＋π12，k∈Z.又|φ|π，∴取k＝0，得φ＝π12.故选A.]三角函数模型的简单应用【例3】某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？[解](1)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，又0≤t＜24，所以π3≤π12t＋π3＜7π3，－1≤sinπ12t＋π3≤1.当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.(2)依题意，当f(t)＞11时实验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2sinπ12t＋π3，故有10－2sinπ12t＋π3＞11，即sinπ12t