中考数学全面突破第十七讲图形的相似

第十七讲图形的相似命题点分类集训命题点1平行线分线段成比例【命题规律】考查内容：平行线分线段成比例．【命题预测】平行线分线段成比例在平行线的性质方面作用很大，它可以不用确定相似三角形就能得到线段的比例关系，是命题的方式之一．1.在△ABC中，DE∥BC，若ADDB＝23，则AEEC＝()A.13B.25C.23D.351.C【解析】∵DE∥BC，∴AEEC＝ADDB＝23.第1题图第2题图2.如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么BCCE的值等于________．2.35【解析】∵AB∥CD∥EF，∴BCCE＝ADDF，而AD＝AG＋GD＝3，DF＝5，∴BCCE的值为35.命题点2相似三角形的有关证明与计算【命题规律】1.考查内容：①相似三角形的性质；②相似三角形的判定；③相似三角形的判定及性质运用；2.相似三角形可与多个知识点结合，如在四边形、函数的相关计算题中常会涉及，另外也会在二次函数综合题中探究相似三角形的存在性问题．【命题预测】相似三角形是研究两个三角形关系的重要模板，也是命题人命制试题的重要知识点．3.△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为()A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶163.C4.如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有()A.0个B.1个C.2个D.3个4.C第4题图第5题图第6题图5.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确．．．的是()A.DE＝12BCB.ADAB＝AEACC.△ADE∽△ABCD.S△ADE∶S△ABC＝1∶25.D【解析】∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝12BC且DE∥BC，故A正确；∵DE∥BC，ADAB＝AEAC＝12，故B正确；∵ADAB＝AEAC＝12，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，故C正确；∵△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC＝(ADAB)2＝14，故D不正确．6.如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为()A.4B.42C.6D.436.B【解析】∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC.∴BCAC＝ACDC，即AC2＝BC·DC，∵AD是中线，BC＝8，∴DC＝12BC＝4，∴AC2＝8×4，∴AC＝42.7.如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若AFDF＝2，则HFBG的值为()A.23B.712C.12D.5127.B【解析】设AF＝2x，则DF＝x＝AE，BE＝2x.因为四边形ABCD是菱形，所以AB∥CD，所以△DHF∽△ABF，HDAB＝DFAF＝HFBF＝12，解得HD＝12AB＝1.5x，BF＝2HF.同理△DHG∽△EBG，所以HDBE＝HGBG＝DGGE＝1.5x2x＝34，所以DGDE＝37，如解图所示，过E作EM∥BH，交AD于M，则FGEM＝DGDE＝37，MEBF＝AEAB＝13，所以BF＝3ME＝7FG，则BG＝6FG，HF＝12BF＝3.5FG，所以HFBG＝3.5FG6FG＝712.8.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC＝DFCG.(1)求证：△ADF∽△ACG;(2)若ADAC＝12，求AFFG的值．8.(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠DAE，∴∠ADF＝∠C，又∵ADAC＝DFCG，∴△ADF∽△ACG.(2)解：∵△ADF∽△ACG，∴ADAC＝AFAG，又∵ADAC＝12，∴AFAG＝12，∴AFFG＝1.9.如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.9.证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，在△ADG和△CDG中，AD＝CD∠ADG＝∠CDGDG＝DG，∴△ADG≌△CDG(SAS)，∴AG＝CG.(2)∵△ADG≌△CDG，∴∠DAG＝∠DCG，∵四边形ABCD是菱形，∴AF∥CD，∴∠F＝∠DCG，∴∠EAG＝∠F，∵∠AGE＝∠FGA，∴△GAE∽△GFA，∴AGGF＝GEAG，∴AG2＝GE·GF.命题点3相似的实际应用【命题规律】1.命题背景一般会涉及光源、投影等；2.解决此类问题，需要将题中的已知条件与所给图形结合起来，确立相似模型，求出要求的量．【命题预测】相似的实际应用和我们的生活息息相关，与解直角三角形一样，是将实际问题转化为相似三角形问题，近年来也倍受命题人青睐．10.如图，小军、小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m,1.5m,已知小军、小珠的身高分别为1.8m,1.5m，则路灯的高为________m.10.3【解析】根据题意，画出如解图所示的图形，易得BC＝AB＝1.8，EF＝ED＝1.5，则PO＝AO，PO＝DO，因为BE＝2.7，所以2PO－1.8－1.5＝2.7，解得PO＝3.11.如图是一位学生设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A发出经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD.测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，那么该古城墙的高度CD是________米．11.8【解析】∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP＝90°，由“入射角等于反射角”可推出：∠APB＝∠CPD，∴△ABP∽△CDP，∴CDAB＝DPBP，∴CD＝DPBP·AB＝123×2＝8(米)．12.某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量．于是他们首先用平面镜进行测量，方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C.镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合．这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED＝1.5米，CD＝2米；然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH＝2.5米，FG＝1.65米．如图，已知：AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计．请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．12.解：由题意得∠ABC＝∠EDC＝∠GFH＝90°，∠ACB＝∠ECD，∠AFB＝∠GHF，∴△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，∴ABED＝BCDC，ABGF＝BFFH，又∵CF＝CD＋DF＝2＋16＝18，即AB1.5＝BC2，AB1.65＝BC＋182.5，解得AB＝99(米)．命题点4图形的位似【命题规律】1.此命题点主要考查根据位似图形的性质来求对应点的坐标或面积比，也常与网格作图结合，通过已知相似比，画出位似图形；2.解决此类问题，最主要是掌握位似的性质，它是相似的特殊形式，其对应点的连线交于一点，位似比等于对应线段的相似比．利用位似比求点坐标，其实质是利用三角形相似确定线段长．【命题预测】位似是相似的一种特殊形式，也是图形变换的一种形式，近年对此知识点的命题也不断涌现，值得关注．13.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′.已知OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为()A.1∶3B.1∶4C.1∶8D.1∶913.D【解析】∵OB＝3OB′，∴OB′OB＝13，∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC，∴A′B′AB＝OB′OB＝13.∴S△A′B′C′S△ABC＝(A′B′AB)2＝19.14.已知在平面直角坐标系中，点A(－3，－1)、B(－2，－4)、C(－6，－5)，以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1∶2，则点B的对应点的坐标为________．14.(－1，－2)或(1，2)【解析】根据位似图形性质，△ABC缩小后，点B的对应点的横、纵坐标与点B的横、纵坐标的绝对值之比等于位似比，即x－2＝y－4＝12或x－2＝y－4＝－12，解得x＝－1，y＝－2或x＝1，y＝2，故答案为(－1，－2)或(1，2)．15.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，A(2，0)，B(2，1)，C(0，1)．以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的2倍，记所得矩形为OA1B1C1.B的对应点为B1，且B1在OB的延长线上，则B1的坐标为________．15.(4，2)【解析】如解图，∵矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，∴A1B1AB＝B1C1BC＝2，∵AB＝1，OA＝BC＝2，∴OA1＝B1C1＝4，A1B1＝2，∴点B1的坐标为(4，2)．16.已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A(0，－3)，B(3，－2)，C(2，－4)．(正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度)(1)画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；(2)以点C为位似中心，在网格中．．．画出△A2B2C，使△A2B2C与△ABC位似，且△A2B2C与△ABC的位似比为2∶1，并直接写出点A2的坐标．16.解：(1)画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1如解图．(2)如解图，以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C，使△A2B2C与△ABC位似，且△A2B2C与△ABC的位似比为2∶1.答：点A2的坐标为(－2，－2)．中考冲刺集训一、选择题1.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为34，则△ABC与△DEF对应中线的比为()A.34B.43C.916D.1692.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为()A.(3，2)B.(3，1)C.(2，2)D.(4，2)第2题图第3题图3.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的()A.ADAB＝AEACB.DFFC＝AEECC.ADDB＝DEBCD.DFBF＝EFFC4.如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B.如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为()A.15B.10C.152D.5第4题图第5题图第6题图5.如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D.已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则ABBD的值为()A.425B.345C.528D.202236.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△CDE的比是()A.1∶3B.1∶4C.1∶5D.1∶25二、填空题7.如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD∶AB＝1∶3，则△ADE与△ABC的面积之比为________．第7题图第8题图8.如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则APPB的值＝________；tan∠APD的值＝________．9.如图