中考数学全面突破第十一讲三角形

第十一讲三角形命题点分类集训命题点1三角形的三边关系【命题规律】1.考查内容：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.2.考查形式：①已知三角形的两边，确定第三边的可能值；②判断所给的三条线段能否构成三角形．【命题预测】三角形三边关系是学习三角形的基础，也是判断能否构成三角形的重要方法，需掌握．1.若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是()A.6B.3C.2D.111.A2.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是()A.2cm，3cm，5cmB.7cm，4cm，2cmC.3cm，4cm，8cmD.3cm，3cm，4cm2.D3.下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是()A.3，4，4B.3，4，5C.3，4，6D.3，4，73.C【解析】①∵32＋42＝52，∴三条线段3、4、5组成直角三角形，∴B选项不正确；②当把斜边5变成7时，3＋4＝7，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，∴D选项不正确；③当把斜边5稍微变小一点为4时，三条线段为3、4、4组成锐角三角形，∴A选项不正确；④当把斜边5稍微变大一点为6时，三条线段为3、4、6组成钝角三角形，∴C选项正确命题点2三角形的内角和及内外角关系【命题规律】1.考查内容：①三角形内角和为180°；②三角形的一个外角等于与其不相邻两个内角之和.2.考查形式：①结合平行线求角度(选题可见平行线性质部分)；②利用三角形内外角关系求角度．【命题预测】三角形内角和及三角形内外角关系是应用三角形求角度的重要方法，也是全国命题的方向．4.在△ABC中，∠A＝95°，∠B＝40°，则∠C的度数是()A.35°B.40°C.45°D.50°4.C5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B的度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°5.B6.如图，已知∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且AD是∠EAC的平分线．若∠B＝71°，则∠BAC＝________．6.38°【解析】∵AD∥BC，∠B＝71°，∴∠EAD＝∠B＝71°.∵AD是∠EAC的平分线，∴∠EAC＝2∠EAD＝142°，∴∠BAC＝180°－∠EAC＝180°－142°＝38°.命题点3三角形中的重要线段【命题规律】1.考查内容：①三角形的角平分线；②三角形的中位线；③三角形边上的垂直平分线.2.考查形式：①利用三角形的角平分线结合内外角关系求角度；②利用三角形中位线与第三边的关系计算线段长；③利用角平分线性质计算三角形面积关系．【命题预测】三角形中的重要线段是利用三角形研究线段长度、角度等问题的工具之一，倍受命题人青睐7.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的()A.三条高线的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点7.D8.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，DE、DF是△ABC的中位线，则四边形BEDF的周长是()A.5B.7C.8D.108.D【解析】∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DF∥BC，DE＝12AB，DF＝12BC，∴四边形BEDF是平行四边形，∵AB＝4，BC＝6，∴DE＝BF＝2，DF＝BE＝3，∴四边形BEDF的周长为：2(DE＋DF)＝10.第8题图第9题图9.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若BC＝8，则DE的长为________．9.4【解析】∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴由三角形的中位线定理可知DE＝12BC＝4.10.在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是________．10.4∶3【解析】如解图，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，∵AD是∠BAC的平分线，∴DE＝DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)，设DE＝DF＝h，则S△ABDS△ACD＝12AB·h12AC·h＝43.命题点4等腰三角形的相关计算【命题规律】1.考查形式：①已知等腰三角形的一个角，求另外两个角(易错点，常因为没分类讨论导致漏解)；②已知等腰三角形的两条边长，求其周长(易错点，常因为没分类讨论导致漏解)；③等腰三角形等角对等边性质；④等腰三角形三线合一性质；2.三大题型均有设题，等腰三角形多在选填题中考查，也会在二次函数综合题中考查探究等腰三角形的存在性．【命题趋势】由于等腰三角形独具一些特殊性质，解题过程中常会用到分类讨论思想，因此倍受命题人青睐．11.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BAC的度数为()A.40°B.45°C.60°D.70°11.A【解析】由AE∥BD，可得∠DBC＝∠E＝35°，由BD平分∠ABC可得∠ABC＝2∠DBC＝70°，由AB＝AC可得∠ABC＝∠C＝70°，由三角形内角和定理可得∠BAC＝180°－70°－70°＝40°.12.已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A.20或16B.20C.16D.以上答案均不对12.B【解析】∵|x－4|＋y－8＝0，∴x－4＝0，y－8＝0，解得x＝4，y＝8.分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的等腰三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋88，这样能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.13.若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2cm，则它的底边长为________cm.13.23【解析】如解图，由已知得，∠B＝∠C＝12(180°－120°)＝30°，AB＝2，∴底边长为：BC＝2BD＝2AB·cos30°＝23(cm)．命题点5直角三角形的相关计算【命题规律】1.考查内容：考查直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理.2.考查形式：①利用直角三角形性质计算；②利用勾股定理求边长；③含30°角的直角三角形的性质．【命题预测】直角三角形性质的考查变化性较强，常与勾股定理一起考查，此种命题方式势必经常出现，常在二次函数综合题中考查探究直角三角形的存在性问题．14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是()A.433B.4C.83D.4314.D【解析】∵Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝8，∴AC＝12AB＝4，∴BC＝AB2－AC2＝64－16＝43.15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E.若BC＝3，则DE的长为()A.1B.2C.3D.415.A【解析】∵AD是∠BAC的平分线，AC⊥BC，AE⊥DE,∴DC＝DE，AE＝AC.又∵DE是AB的垂直平分线，∴BE＝AE，即AB＝2AE＝2AC,∴∠B＝30°.设DE＝x，则BD＝3－x.在Rt△BDE中，x3－x＝12，解得x＝1，∴DE的长为1.第14题图第15题图第16题图第17题图16.如图，在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD＝()A.3B.4C.4.8D.516.D【解析】∵DE垂直平分AC，∴∠AED＝90°，AE＝CE＝4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝12BC＝3.在Rt△CED中，CD＝CE2＋DE2＝5.17.如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若∠A＝40°，则∠BCE＝________.17.50°【解析】∵E是Rt△ABC斜边AB的中点，∴EC＝AB2＝AE，∴∠ECA＝∠A＝40°，∴∠BCE＝90°－40°＝50°.18.在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．．．．．．．．．．．．．．．．．．18.解：如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设BD＝x，则CD＝14－x，根据勾股定理可得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.∴AD2＝152－x2＝152－92＝144.∵AD0，∴AD＝12.∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.命题点6与全等三角形有关的证明与计算【命题规律】1.考查内容：全等三角形的判定和性质应用，其中判定的类型有：SSS，SAS，AAS，ASA及直角三角形全等特有的判定定理HL.2.考查形式：①如图所示的几何图形中，共有全等三角形的对数；②请添加条件…，使两个三角形全等；③解答题中判断三角形全等或利用全等性质证明线段或角相等；④与四边形结合，利用四边形的性质证明三角形全等(具体选题见四边形部分)．【命题预测】全等三角形的性质和判定是研究多个图形之间关系的基本知识，也是全国命题的主流方向，另外也会与二次函数综合题结合考查全等三角形的存在性问题．19.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能．．判定△ABE≌△ACD()A.∠B＝∠CB.AD＝AEC.BD＝CED.BE＝CD19.D20.如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点．若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有()A.2对B.3对C.4对D.5对20.C【解析】由题意可知，△ABD≌△CBD，△MON≌△M′ON′，△DON≌△BON′，△DOM≌△BOM′共4对．21.如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝________.21.120°【解析】由于△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝24°，在△ABC中，∠B＝180°－24°－36°＝120°.22.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当条件：____________，使△AEH≌△CEB.22.AH＝CB(符合要求即可)【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E，∴∠BEC＝∠AEC＝90°，在Rt△AEH中，∠EAH＝90°－∠AHE，在Rt△HDC中，∠ECB＝90°－∠DHC，∵∠AHE＝∠DHC，∴∠EAH＝∠ECB，∴根据AAS添加AH＝CB或EH＝EB；根据ASA添加AE＝CE.可证△AEH≌△CEB.故答案为：AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE均可．第19题图第20题图第21题图第22题图23.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD.求证：AE＝FB.23.证明：∵CE∥DF，∴∠ACE＝∠FDB，在△ACE和△FDB中，EC＝BD∠ACE＝∠FDBAC＝FD，∴△ACE≌△FDB(SAS)，∴AE＝FB.24.已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE、CF，求证：△ADE≌△CDF.24.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD.又∵E、F分别为边CD、AD的中点，∴DE＝DF.在△ADE和△CDF中，AD＝CD∠ADE＝∠CDFDE＝DF，∴△ADE≌△CDF(SAS)．25.如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至E，延长DC至F，使得AE＝CF，连接EF交AD于G，交BC于H.求证：△AEG≌△CFH.25.证明：∵在▱ABCD中，∠BAD＝∠BCD，AB∥CD，∴∠E＝∠F，180°－∠BAD＝180°－∠BCD，即∠EAG＝∠FCH，在△AEG和△CFH中，∠E＝∠FAE＝CF∠EAG＝∠FCH，∴△AEG≌△CFH(ASA)．26.如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．26.(1)证明：∵