2020版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第8节函数与方程教学案含解析理21

第八节函数与方程[考纲传真]结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)(或(x2,0))无交点零点个数2103.二分法(1)定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)二分法求函数零点近似值的步骤[常用结论]1．函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，则“f(a)·f(b)＜0”是函数f(x)在区间(a，b)内有零点的充分不必要条件．2．若函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)⊆D内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.()(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3B[∵f(－1)＝1e－3＜0，f(0)＝1＞0，∴f(x)在(－1,0)内有零点，又f(x)为增函数，∴函数f(x)有且只有一个零点．]3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y＝cosxB．y＝sinxC．y＝lnxD．y＝x2＋1A[由于y＝sinx是奇函数，y＝lnx是非奇非偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，只有y＝cosx是偶函数又有零点．]4．函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(－2，－1)D．(－1,0)D[∵f(－2)＝－359，f(－1)＝－23，f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，∴f(0)f(1)＞0，f(1)f(2)＞0，f(－2)f(－1)＞0，f(－1)f(0)＜0，故选D.]5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．13，1[∵函数f(x)的图象为直线，由题意可得f(－1)f(1)＜0，∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得13＜a＜1，∴实数a的取值范围是13，1.]判断函数零点所在的区间1．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内A[∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)和(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.]2．设x0是方程13x＝x的解，则x0所在的范围是()A.0，13B.13，12C.12，23D.23，1B[构造函数f(x)＝13x－x，因为f(0)＝130－0＝1＞0，f13＝1313－13＝1313－1312＞0，f12＝1312－12＝1312－1212＜0.所以由零点存在性定理可得函数f(x)＝13x－x在13，12上存在零点，即x0∈13，12，故选B.]3．设函数y1＝x3与y2＝12x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________．(1,2)[设f(x)＝x3－12x－2，则f(x)在R上是增函数，又f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝8－1＝7＞0，则x0∈(1,2)．]4．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝lnx－2x的零点，则g(x0)＝________.2[f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－23＞0，则x0∈(2,3)，故g(x0)＝2.][规律方法]判断函数零点所在区间的3种方法解方程法：当对应方程fx＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上.定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y＝fx在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有fafb＜0.若有，则函数y＝fx在区间a，b内必有零点.图象法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.判断函数零点(或方程根)的个数【例1】(1)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4(2)(2019·兰州模拟)已知函数f(x)满足：①定义域为R；②∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1.则方程f(x)＝12log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是()A．5B．6C．7D．8(3)函数f(x)＝lnx－x2＋2x，x＞0x2－2，x≤0的零点个数是________．(1)B(2)A(3)3[(1)令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝12x.设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝12x，在同一直角坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．(2)由f(x＋2)＝f(x)知函数f(x)是周期为2的函数，在同一直角坐标系中，画出y1＝f(x)与y2＝12log2|x|的图象，如图所示．由图象可得方程解的个数为5，故选A.(3)当x＞0时，作函数y＝lnx和y＝x2－2x的图象，由图知，当x＞0时，f(x)有2个零点；当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－2(正根舍去)所以在(－∞，0]上有一个零点，综上知f(x)有3个零点．][规律方法]判断函数零点个数的3种方法方程法：令fx＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且fafb＜0，还必须结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性、周期性、对称性才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.(1)函数f(x)＝x2＋x－2，x≤0，－1＋lnx，x＞0的零点个数为()A．3B．2C．1D．0(2)(2019·泰安模拟)已知函数f(x)＝log2x，x＞0，3x，x≤0，若关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．(1)B(2)(1，＋∞)[(1)法一：由f(x)＝0得x≤0，x2＋x－2＝0或x＞0，－1＋lnx＝0，解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．法二：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．(2)问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，作出函数f(x)的图象(如图所示)，结合函数图象可知a＞1.]函数零点的应用►考法1根据零点的范围求参数【例2】若函数f(x)＝log2x＋x－k(k∈Z)在区间(2,3)上有零点，则k＝________.4[函数f(x)＝log2x＋x－k在(2,3)上单调递增，所以f(2)·f(3)＜0，即(log22＋2－k)·(log23＋3－k)＜0，整理得(3－k)(log23＋3－k)＜0，解得3＜k＜3＋log23，而4＜3＋log23＜5，因为k∈Z，故k＝4.]►考法2已知函数零点或方程根的个数求参数【例3】(2019·青岛模拟)已知函数f(x)＝|x|，x≤m，x2－2mx＋4m，xm，其中m0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．(3，＋∞)[作出f(x)的图象如图所示．当xm时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2m，即m2－3m0.又m0，解得m3.][规律方法]已知函数的零点或方程根，求参数问题的三种方法直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.(1)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)(2)已知函数f(x)＝0，x≤0，ex，x＞0，则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是()A．[0,1)B．(－∞，1)C．(－∞，1]∪(2，＋∞)D．(－∞，0]∪(1，＋∞)(1)C(2)D[(1)∵函数f(x)＝2x－2x－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)＜0，∴(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，∴0＜a＜3，故选C.(2)函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＝m－x的根，在同一坐标系中画出函数f(x)和y＝m－x的图象，如图所示，由图象知，当m≤0或m＞1时方程f(x)＝m－x有根，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点，故选D.]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝()A．－12B.13C.12D．1C[法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，∴函数g(t)为偶函数．∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，∴2a－1＝0，解得a＝12.故选C.法二：f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.ex－1＋e－x＋1≥2ex－1·e－x＋1＝2，当且仅当x＝1时取“＝”．－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．若a0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝12.若a≤0，则f(x)的零点不唯一．故选C.]2．(2014·全国卷Ⅰ)已知函