中考数学全面突破第八讲反比例函数

第八讲反比例函数命题点分类集训命题点1反比例函数的图象与性质【命题规律】考查内容：①函数图象所在象限与k之间的关系；②函数增减性与k之间的关系；③函数图象上的点满足函数条件来确定解析式或求k值；④函数图象上点的坐标值比较大小；⑤写出函数图象上的特殊点；⑥判断函数的图象．【命题预测】反比例函数图象与性质作为反比例函数的基础知识点，是命题的一大趋势，掌握函数图象与k之间的关系是解决问题之关键．1.点(2，－4)在反比例函数y＝kx的图象上，则下列各点在此函数图象上的是()A.(2，4)B.(－1，－8)C.(－2，－4)D.(4，－2)1.D2.姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：在每一个象限内，y值随x值的增大而减小．根据他们的叙述，姜老师给出的这个函数表达式可能是()A.y＝3xB.y＝3xC.y＝－1xD.y＝x22.B3.函数y＝2x＋1的图象可能是()3.C4.我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数y＝－3x的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标________．4.(1，－3)(答案不唯一，合理即可)【解析】对于y＝－3x，依题意，说明只要x是3的约数即可，如(1，－3)，(－1，3)．5.已知反比例函数y＝kx(k≠0)，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是________．5.k0【解析】∵反比例函数y＝kx(k≠0)，图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，∴k的取值范围是：k＞0.6.已知点(m－1，y1)，(m－3，y2)是反比例函数y＝mx(m0)图象上的两点，则y1________y2(填“”或“＝”或“”)．6.＞【解析】∵m＜0，∴反比例函数y＝mx的图象位于第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，又∵m－1＞m－3，∴y1＞y2.命题点2反比例函数k的几何意义【命题规律】1.考查内容：①根据几何体面积确定k值或k的相关式子；②利用反比例函数解析式计算三角形、四边形面积.2.题型主要为选择题或填空题．【命题预测】反比例函数几何意义是反比例函数与几何有机结合的表现，常受到命题人的青睐，学生应熟练掌握|k|与图形面积之间的关系，提高解题熟练度和准确性．7.如图，过反比例函数y＝kx(k＞0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB＝2，则k的值为()A.2B.3C.4D.5第7题图第8题图第9题图7.C【解析】∵点A在反比例函数y＝kx的图象上，且AB⊥x轴于点B，设点A坐标为(x，y)，∴k＝xy，∵点A在第一象限，∴x、y都是正数，∴S△AOB＝12OB·AB＝12xy，∵S△AOB＝2，∴k＝xy＝4.8.(2015陕西)如图，在平面直角坐标系中，过点M(－3，2)分别作x轴、y轴的垂线，与反比例函数y＝4x的图象交于A、B两点，则四边形MAOB的面积为________．8.10【解析】如解图，设AM与x轴交于点C，MB与y轴交于点D，∵点A、B分别在反比例函数y＝4x上，根据反比例函数k的几何意义，可得S△ACO＝S△OBD＝12×4＝2，∵M(－3，2)，∴S矩形MCOD＝3×2＝6，∴S四边形MAOB＝S△ACO＋S△OBD＋S矩形MCOD＝2＋2＋6＝10.9.(2016南昌)如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝k1x(x＞0)及y2＝k2x(x＞0)的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1－k2＝__________．9.4【解析】∵反比例函数y1＝k1x(x＞0)及y2＝k2x(x＞0)的图象均在第一象限内，∴k1＞0，k2＞0，∵AP⊥x轴，∴S△OAP＝12k1，S△OBP＝12k2，∴S△OAB＝S△OAP－S△OBP＝12(k1－k2)＝2，解得k1－k2＝4.命题点3反比例函数与一次函数综合题【命题规律】1.考查内容：①一次函数与反比例函数图象的分析；②一次函数与反比例函数解析式的确定(或字母系数的确定)；③已知一次函数与反比例函数交点坐标关系，确定反比例函数中字母系数的取值；④一次函数与反比例函数组成不等式的解集(或自变量取值范围，主要是数形结合思想的应用)；⑤与几何图形综合的相关问题.2.解决此类问题的关键是掌握函数图象交点的应用，能够通过题设条件转化为方程组求交点坐标．【命题预测】反比例函数与一次函数的综合题，很好地考查了函数间知识的连接性，且涉及到了数形结合思想，故此类试题倍受命题人青睐，值得关注．10.如图，在同一直角坐标系中，函数y＝kx与y＝kx＋k2的大致图象是()10.C【解析】当k0时，反比例函数y＝kx图象的两个分支分别位于第一、三象限，直线y＝kx＋k2经过第一、二、三象限，没有符合题意的选项；当k0时，反比例函数y＝kx图象的两个分支分别位于第二、四象限，直线y＝kx＋k2经过第一、二、四象限，只有C符合题意.11.如图，直线y＝－2x＋4与双曲线y＝kx交于A、B两点，与x轴交于点C，若AB＝2BC，则k＝________．第11题图第12题图第13题图11.32【解析】设A(x1，kx1)，B(x2，kx2)，∵直线y＝－2x＋4与y＝kx交于A，B两点，∴－2x＋4＝kx，即－2x2＋4x－k＝0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝k2，如解图，过点A作AQ⊥x轴于点Q，BP⊥AQ于点P，则PB∥QC，∴APPQ＝ABBC＝2，即kx1－kx2kx2＝2，∴x2＝3x1，∴x1＝12，x2＝32，∴k＝2x1x2＝32.12.如图，过原点O的直线与反比例函数y1、y2的图象在第一象限内分别交于点A、B，且A为OB的中点．若函数y1＝1x，则y2与x的函数表达式是________．12.y2＝4x【解析】设y2与x的函数关系式为y2＝kx，A点坐标为(a，b)，则ab＝1.又A点为OB的中点，因此，点B的坐标为(2a，2b)，则k＝2a·2b＝4ab＝4，所以y2与x的函数关系式为y2＝4x.13.如图，直线y1＝kx(k≠0)与双曲线y2＝2x(x0)交于点A(1，a)，则y1y2的解集为________．13.x＞1【解析】当x＞1时，直线的图象在双曲线图象的上方，即y1＞y2.因此，y1＞y2的解集为x＞1.14.如图，一次函数y＝kx＋b(k0)与反比例函数y＝mx的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A(4，1)．(1)求反比例函数的解析式；(2)连接OB(O是坐标原点)，若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．14.解：(1)把A(4，1)代入y＝mx得1＝m4.∴m＝4，∴反比例函数的解析式为y＝4x.(2)过点B作BE⊥y轴于点E，如解图，设点B坐标为(n，4n)，则OE＝4n，BE＝n.∴S△BEO＝12OE·BE＝2，∵S△BOC＝3，∴S△BCE＝1，∴OE∶EC＝2∶1，∴CE＝2n，OC＝6n.设直线AB的解析式为y＝kx＋6n，把(n，4n)和(4，1)分别代入得：4n＝nk＋6n1＝4k＋6n，解得n＝2k＝－12，∴6n＝3，∴一次函数的解析式为y＝－12x＋3.15.在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与反比例函数y＝kx(k≠0)的图象交于第二、第四象限内的A，B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH＝3，tan∠AOH＝43，点B的坐标为(m，－2)．(1)求△AHO的周长；(2)求该反比例函数和一次函数的解析式．15.(1)【思路分析】在Rt△AOH中用三角函数求出AH，再用勾股定理求出AO，进而得周长．解：在Rt△AOH中，tan∠AOH＝43，OH＝3，∴AH＝OH·tan∠AOH＝4，∴AO＝OH2＋AH2＝5，∴C△AOH＝AO＋OH＋AH＝5＋3＋4＝12.(2)【思路分析】由(1)得出A点坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式，由反比例函数解析式求出B点坐标，最后把A、B点坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式．解：由(1)得，A(－4，3)，把A(－4，3)代入反比例函数y＝kx中，得k＝－12，∴反比例函数解析式为y＝－12x，把B(m，－2)代入反比例函数y＝－12x中，得m＝6，∴B(6，－2)，把A(－4，3)，B(6，－2)代入一次函数y＝ax＋b中，得6a＋b＝－2－4a＋b＝3，∴a＝－12b＝1，∴一次函数的解析式为y＝－12x＋1.中考冲刺集训一、选择题1.反比例函数y＝－1x的图象上有两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若x10x2，则下列结论正确的是()A.y1y20B.y10y2C.y1y20D.y10y22.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是()A.v＝320tB.v＝320tC.v＝20tD.v＝20t3.若一次函数y＝mx＋6的图象与反比例函数y＝nx在第一象限的图象有公共点，则有()A.mn≥－9B.－9≤mn＜0C.mn≥－4D.－4≤mn≤04.如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB＝45，反比例函数y＝48x在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于()A.60B.80C.30D.40二、填空题5.如图，点A在函数y＝4x(x0)的图象上，且OA＝4，过点A作AB⊥x轴于点B，则△ABO的周长为________．第5题图第6题图第7题图6.已知反比例函数y＝kx(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是________(写一个即可)．7.如图所示，反比例函数y＝kx(k≠0，x0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D，若矩形OABC的面积为8，则k的值为________．8.双曲线y＝m－1x在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．9.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝kx的图象上，则k的值为________．第9题图第10题图10.如图，点A为函数y＝9x(x＞0)图象上一点，连接OA，交函数y＝1x(x＞0)的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为________．三、解答题(共3题，第11题6分，第12～13题每题7分，共20分)11.如图，已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A(2，5)在反比例函数y＝kx的图象上，一次函数y＝x＋b的图象经过点A，且与反比例函数图象的另一交点为B.(1)求k和b的值；(2)设反比例函数值为y1，一次函数值为y2，求y1y2时x的取值范围．12.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx(x0)的图象交于A(2，－1)，B(12，n)两点，直线y＝2与y轴交于点C.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求△ABC的面积．13.环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天以内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示．其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；(2)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？1.D【解析】根据反比例函数的性质或者利用特殊值法即可作出选择．方法一：∵反比例函数y＝－1x中k＝－1＜0，∴当x＜0时，y＞0；当x＞0时，y＜0.又∵x1＜0＜x2，∴y1＞0＞y2.