中考数学专题复习全攻略第一节圆的基本性质

第一节圆的基本性质知识点一：圆的有关概念1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”（2）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）（3）直径经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD）直径等于半径的2倍。（4）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（5）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）（6）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（7）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（8）弦心距：圆心到弦的距离.（9）圆的对称性1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。变式练习1：如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC.若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为(B)A．33B．43C．53D．63注意：（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.,第1题图),第2题图)变式练习2：如图，在⊙O中，AB︵＝AC︵，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是(C)A．40°B．30°C．20°D．15°变式练习3：如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是AB︵上一点，则∠ACB＝__119__°.,第3题图)知识点二：垂径定理及其推论1.垂径定理及其推论1)定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2)推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。3)延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧BC;②②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.变式练习1：如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为________．第1题图【解析】如解图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OA.由垂径定理得：AC＝BC＝12AB＝12×8＝4，∵在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC2＝OA2－AC2＝52－42＝9，∴OC＝3，即圆心O到AB的距离为3.变式练习2：小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为(B)A．23cmB．43cmC．63cmD．83cm知识点三：圆心角、弧、弦的关系1.定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．2.推论:在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点四：圆周角定理及其推论1、圆周角定理及其推论（1）圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。（2）圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如图a,∠A=1/2∠O.图a图b图c(3)推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.变式练习1：如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠ABC＝25°，则∠AOC的度数为________．注意：圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.注意：在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.第1题图【解析】由于∠AOC和∠ABC分别是AC所对的圆心角和圆周角，∴∠AOC＝2∠ABC，∵∠ABC＝25°，∴∠AOC＝50°.变式练习2：如图，点P是四边形ABCD外接圆⊙O上任意一点，且不与四边形顶点重合．若AD是⊙O的直径，AB＝BC＝CD，连接PA，PB，PC.若PA＝a，则点A到PB和PC的距离之和AE＋AF＝__________．第2题图【解析】∵AB＝BC＝CD，∴AB＝BC＝CD，∴∠APB＝∠BPC＝30°，∴AE＝AP·sin30°＝12a，AF＝AP·sin60°＝32a，∴AE＋AF＝3＋12a.变式练习3：如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是()A.25°B.30°C.40°D.50°【解析】∵OA∥DE，∠D＝50°，∴∠AOD＝50°，∵∠C＝12∠AOD，∴∠C＝12×50°＝25°.变式练习4：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°．精诚文库：精诚文库-小学，初中，高中，中考，高考教学资源下载门户网站！