2020版一轮复习文科数学习题第五篇数列必修5第3节等比数列Word版含解析

第3节等比数列【选题明细表】知识点、方法题号等比数列的判定与证明11,14等比数列的基本量运算1,4,9,12等比数列的性质2,5,8,10等差、等比数列的综合3,7等比数列的应用6,13基础巩固(时间:30分钟)1.在等比数列{an}中,a1=,q=,an=,则项数n为(C)(A)3(B)4(C)5(D)6解析:由an=a1·qn-1,得=×()n-1.所以n=5.故选C.2.在等比数列{an}中,a2a3a4=8,a7=8,则a1等于(A)(A)1(B)±1(C)2(D)±2解析:由a2a3a4==8,得a3=2,所以a7=a3·q4=2q4=8,则q2=2,因此a1==1.3.(2018·广东广州市一模)已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则{an}前6项的和为(B)(A)-20(B)-18(C)-16(D)-14解析:因为a1,a3,a4成等比数列,所以=a1·a4,所以(a1+4)2=a1(a1+6),解得a1=-8,所以S6=6×(-8)+×2=-18,选B.4.(2018·辽宁大连八中模拟)若记等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=6,则S4等于(C)(A)10或8(B)-10(C)-10或8(D)-10或-8解析:因为a1=2,S3=a1+a2+a3=6.所以当q=1时,S4=S3+a4=S3+a1=8.当q≠1时,由等比数列求和公式,得S3===6,所以q2+q-2=0,所以q=-2或q=1(舍去),S4==-10.选C.5.设等比数列{an}中,前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9等于(A)(A)(B)-(C)(D)解析:因为a7+a8+a9=S9-S6,且公比不等于-1,在等比数列中,S3,S6-S3,S9-S6也成等比数列,即8,-1,S9-S6成等比数列,则8(S9-S6)=(-1)2,S9-S6=,即a7+a8+a9=.6.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯(B)(A)1盏(B)3盏(C)5盏(D)9盏解析:依题意可知,S7=381,q=2,所以S7==381,解得a1=3.故选B.7.(2018·湖南省永州市一模)在等比数列{an}中,已知a1=1,a4=8,若a3,a5分别为等差数列{bn}的第2项和第6项,则数列{bn}的前7项和为(B)(A)49(B)70(C)98(D)140解析:在等比数列{an}中,因为a4=a1·q3,即8=1×q3,所以q=2,所以a5=16,a3=4,根据题意,等差数列{bn}中,b2=4,b6=16,因为b6=b2+4d,所以16=4+4d,所以d=3,所以b1=1,b7=19,{bn}前7项和S7==70,选B.8.在等比数列{an}中,若a1a5=16,a4=8,则a6=.解析:因为a1a5=16,所以=16,所以a3=±4.又a4=8,所以q=±2.所以a6=a4q2=8×4=32.答案:329.(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S1+2S5=3S3,则{an}的公比等于.解析:由S1+2S5=3S3得2(S5-S3)=S3-S1,所以2(a5+a4)=a3+a2,所以=q2=,因为{an}的各项均为正数,所以q0,所以q=.答案:能力提升(时间:15分钟)10.(2018·大庆一模)数列{an}为正项递增等比数列,满足a2+a4=10,=16,则loa1+loa2+…+loa10等于(D)(A)-45(B)45(C)-90(D)90解析:因为{an}为正项递增等比数列,所以anan-10,公比q1.因为a2+a4=10,①且=16=a3·a3=a2·a4,②由①②解得a2=2,a4=8.又因为a4=a2·q2,得q=2或q=-2(舍去).则得a5=16,a6=32,所以loa1+loa2+…+loa10=lo(a1a2…a10)=5lo(a5a6)=5lo(16×32)=5×9lo2=45×2lo=90.故选D.11.数列{an}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+an=3n-1,则+++…+等于(B)(A)(3n-1)2(B)(9n-1)(C)9n-1(D)(3n-1)解析:因为a1+a2+…+an=3n-1,n∈N*,n≥2时,a1+a2+…+an-1=3n-1-1,所以当n≥2时,an=3n-3n-1=2·3n-1,又n=1时,a1=2适合上式,所以an=2·3n-1,故数列{}是首项为4,公比为9的等比数列.因此++…+==(9n-1).12.在等比数列{an}中,若a1=,a4=-4,则公比q=;|a1|+|a2|+…+|an|=.解析:设等比数列{an}的公比为q,则a4=a1q3,代入数据解得q3=-8,所以q=-2;等比数列{|an|}的公比为|q|=2,则|an|=×2n-1,所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=(1+2+22+…+2n-1)=(2n-1)=2n-1-.答案:-22n-1-13.(2017·福建漳州质检)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn是{an}的前n项和,已知a2a4=16,S3=28,则a1a2…an最大时,n的值为.解析:由等比数列的性质可得:a2a4==16,解得a3=4,则S3=a3(++1)=28,++1=7,(-2)(+3)=0,由数列的公比为正数可得:=2,q=,数列的通项公式为:an=a3qn-3=25-n,据此:a1a2…an=24×23×…×25-n=,a1a2…an最大时,有最大值,据此可得n的值为4或5.答案:4或514.已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n.(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;(2)求数列{bn}的通项公式.(1)证明:因为an+Sn=n①,所以an+1+Sn+1=n+1②.②-①得an+1-an+an+1=1,所以2an+1=an+1,所以2(an+1-1)=an-1,当n=1时,a1+S1=1,所以a1=,a1-1=-,所以=,又cn=an-1,所以{cn}是首项为-,公比为的等比数列.(2)解:由(1)可知cn=(-)·()n-1=-()n,所以an=cn+1=1-()n.所以当n≥2时,bn=an-an-1=1-()n-[1-()n-1］=()n-1-()n=()n.又b1=a1=也符合上式,所以bn=()n.