2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第8节圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线教学案含解

第八节圆锥曲线的综合问题[考纲传真]1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想．1．直线与圆锥曲线的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线C：F(x，y)＝0，由Ax＋By＋C＝0，Fx，y＝0消去y得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l与圆锥曲线C有两个公共点；Δ＝0⇔直线l与圆锥曲线C有一个公共点；Δ＜0⇔直线l与圆锥曲线C有零个公共点．(2)当a＝0，b≠0时，圆锥曲线C为抛物线或双曲线．当C为双曲线时，l与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个．当C为抛物线时，l与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个．2．圆锥曲线的弦长公式设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2.[常用结论]过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是直线l与椭圆C只有一个公共点．()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是直线l与双曲线C只有一个公共点．()(3)过抛物线y2＝2px(p0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.()(4)若抛物线上存在关于直线l对称的两点，则l与抛物线有两个交点．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)直线y＝k(x－1)＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定A[直线y＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．]3．“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．故选A.]4．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有________条．3[结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0).]5．(教材改编)已知与向量v＝(1,0)平行的直线l与双曲线x24－y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．4[由题意可设直线l的方程为y＝m，代入x24－y2＝1得x2＝4(1＋m2)，所以x1＝＋m2＝21＋m2，x2＝－21＋m2，所以|AB|＝|x1－x2|＝41＋m2≥4，即当m＝0时，|AB|有最小值4.]第1课时直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系1．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A．有且只有一条B．有且只有两条C．有且只有三条D．有且只有四条B[设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋p2＋xB＋p2＝xA＋xB＋1＝32p＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．]2．若直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．m1B．m0C．0m5且m≠1D．m≥1且m≠5D[由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则01m≤1且m≠5，故m≥1且m≠5.]3．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A.－153，153B.0，153C.－153，0D.－153，－1D[由y＝kx＋2，x2－y2＝6得(1－k2)x2－4kx－10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1－k2≠0，Δ＝16k2－－k2－＞0，x1＋x2＝4k1－k2＞0，x1x2＝－101－k2＞0，解得－153＜k＜－1，即k的取值范围是－153，－1.][规律方法]直线与圆锥曲线位置关系的判定方法代数法即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标几何法即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数弦长问题►考法1与弦长有关的问题【例1】斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A．2B.455C.4105D.8105C[设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由x2＋4y2＝4，y＝x＋t，消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1＋x2＝－85t，x1x2＝t2－5.∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝2·－85t2－4×t2－5＝425·5－t2，当t＝0时，|AB|max＝4105.]►考法2中点弦问题【例2】已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.x245＋y236＝1B.x236＋y227＝1C.x227＋y218＝1D.x218＋y29＝1D[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，运用点差法，所以直线AB的斜率为k＝b2a2，设直线方程为y＝b2a2(x－3)，联立直线与椭圆的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，所以x1＋x2＝6b2a2＋b2＝2，又因为a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18，方程为x218＋y29＝1.]►考法3与弦长有关的综合问题【例3】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，AB＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|＋|CD|＝487，求直线AB的方程．[解](1)由题意知e＝ca＝12，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝3，所以椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程为y＝－1k(x－1)．将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝8k23＋4k2，x1·x2＝4k2－123＋4k2，所以|AB|＝k2＋1|x1－x2|＝k2＋1·x1＋x22－4x1x2＝k2＋3＋4k2.同理，|CD|＝121k2＋13＋4k2＝k2＋3k2＋4.所以|AB|＋|CD|＝k2＋3＋4k2＋k2＋3k2＋4＝k2＋2＋4k2k2＋＝487，解得k＝±1，所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.[规律方法]求解弦长的四种方法当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解.联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到x1－x22，y1－y22，代入两点间的距离公式.当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.设椭圆M：y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M的方程；(2)若直线y＝2x＋1交椭圆M于A，B两点，P(1，2)为椭圆M上一点，求△PAB的面积．[解](1)由题可知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率e＝ca＝22，由2a＝4，ca＝22，b2＝a2－c2，得a＝2，c＝2，b＝2，故椭圆M的方程为y24＋x22＝1.(2)联立方程y＝2x＋1，x22＋y24＝1，得4x2＋22x－3＝0，且x1＋x2＝－22，x1x2＝－34，所以|AB|＝1＋2|x1－x2|＝3·x1＋x22－4x1x2＝3·12＋3＝422.又P到直线AB的距离为d＝13，所以S△PAB＝12|AB|·d＝12·422·13＝144.