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当前位置:首页 > IT计算机/网络 > 电子商务 > 2020版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第7节函数的图象教学案含解析理20
第七节函数的图象[考纲传真]会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.1.利用描点法画函数图象的流程2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)伸缩变换①y=f(x)的图象y=f(ax)的图象;②y=f(x)的图象y=af(x)的图象.(3)对称变换①y=f(x)的图象―――――――→关于x轴对称y=-f(x)的图象;②y=f(x)的图象―――――――→关于y轴对称y=f(-x)的图象;③y=f(x)的图象――――――→关于原点对称y=-f(-x)的图象;④y=ax(a>0,且a≠1)的图象――――――――→关于直线y=x对称y=logax(a>0,且a≠1)的图象.(4)翻转变换①y=f(x)的图象y=|f(x)|的图象;②y=f(x)的图象y=f(|x|)的图象.[常用结论]1.一个函数图象的对称关系(1)函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x=a+b2对称;特别地,当f(a+x)=f(a-x)时,函数f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则f(x)的图象关于点a+b2,0对称.2.两个函数图象的对称关系(1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称.(2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中心对称.[基础自测]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y=f(1-x)的图象,可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位得到.()(2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称.()(3)当x∈(0,+∞)时,函数y=f(|x|)的图象与y=|f(x)|的图象相同.()(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2.(教材改编)甲、乙二人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步,乙先跑步到中点再改为骑自行车,最后两人同时到达B地.已知甲骑车比乙骑车的速度快,且两人骑车速度均大于跑步速度.现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示,则如图所示的四个函数图象中,甲、乙的图象应该是()①②③④A.甲是图①,乙是图②B.甲是图①,乙是图④C.甲是图③,乙是图②D.甲是图③,乙是图④B[设甲骑车速度为V甲骑,甲跑步速度为V甲跑,乙骑车速度为V乙骑,乙跑步速度为V乙跑,依题意V甲骑>V乙骑>V乙跑>V甲跑,故选B.]3.已知a>0,a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是()ABCDB[y=loga(-x)与y=logax的图象关于y轴对称,故选B.]4.函数y=log12(1-x)的大致图象是()ABCDD[把函数y=log12x的图象对称到y轴左侧得到y=log12(-x)的图象,再把所得图象向右平移1个单位,得到y=log12(1-x)的图象,故选D.]5.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=()A.ex+1B.ex-1C.e-x+1D.e-x-1D[依题意,与曲线y=ex关于y轴对称的曲线是y=e-x,于是f(x)相当于y=e-x向左平移1个单位的结果,∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1.]作函数的图象【例1】作出下列函数的图象:(1)y=12|x|;(2)y=|log2(x+1)|;(3)y=2x-1x-1;(4)y=x2-2|x|-1.[解](1)先作出y=12x的图象,保留y=12x图象中x≥0的部分,再作出y=12x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分,即得y=12|x|的图象,如图①实线部分.①②(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图②.(3)∵y=2x-1x-1=2+1x-1,故函数图象可由y=1x图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到,如图③.③④(4)∵y=x2-2x-1,x≥0,x2+2x-1,x<0,且函数为偶函数,先作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,得图象如图④.[规律方法]函数图象的三种画法直接法:当函数解析式或变形后的解析式是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象.图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,可利用图象变换作出.易错警示:画函数的图象一定要注意定义域.利用图象变换法时要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.识图与辨图【例2】(1)(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)=ex-e-xx2的图象大致为()(2)如图,矩形ABCD的周长为8,设AB=x(1≤x≤3),线段MN的两端点在矩形的边上滑动,且MN=1,当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时,线段MN的中点P所形成的轨迹为G,记G围成的区域的面积为y,则函数y=f(x)的图象大致为()ABCD(1)B(2)D[(1)因为f(-x)=e-x-ex-x2=-ex-e-xx2=-f(x)(x≠0),所以f(x)是定义域上的奇函数,所以函数f(x)的图象关于原点(0,0)中心对称,排除选项A;因为f(1)=e-1e2,所以排除选项C,D,选B.(2)如图所示,点P的轨迹是分别以A,B,C,D为圆心,半径为12的4个14圆,以及线段EF,GH,RQ,SJ部分.则G围成的面积为矩形的面积减去4个14圆的面积,即y=x(4-x)-π×122=4x-x2-π4=-(x-2)2+4-π4(1≤x≤3),且当x=2时,y=4-π4∈(3,4),故选D.][规律方法]识别函数图象的方法技巧由解析式确定函数图象①从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.②从函数的单调性,判断图象的变化趋势.③从函数的奇偶性,判断图象的对称性.④从函数的周期性,判断图象的循环往复.⑤从函数的特殊点,排除不合要求的图象.⑥从函数的极值点判断函数图象的拐点.由实际情景探究函数图象,关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解,要注意实际问题中的定义域问题.(1)(2019·武汉模拟)函数f(x)=x33x-1的大致图象是()(2)如图,不规则四边形ABCD中,AB和CD是线段,AD和BC是圆弧,直线l⊥AB交AB于E,当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时,把四边形ABCD分成两部分,设AE=x,左侧部分的面积为y,则y关于x的图象大致是()ABCD(1)C(2)C[(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0},排除A.又f(-1)=-33-1-1=32>0,排除B.当x→+∞时,f(x)→0,故选C.(2)当l从左至右移动时,一开始面积的增加速度越来越快,过了D点后面积保持匀速增加,图象呈直线变化,过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢.故选C.]函数图象的应用►考法1研究函数的性质【例3】已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1)C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)C[将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值,得f(x)=x2-2x,x≥0,-x2-2x,x0,画出函数f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.]►考法2求不等式解集【例4】函数f(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的奇函数,在(0,+∞)上单调递增,f(3)=0,若x·[f(x)-f(-x)]<0,则x的取值范围为________.(-3,0)∪(0,3)[函数f(x)的图象大致如图所示.因为f(x)为奇函数,且x·[f(x)-f(-x)]<0,所以2x·f(x)<0.由图可知,不等式的解集为(-3,0)∪(0,3).][规律方法]1.利用函数图象研究性质的方法(1)根据已知或作出的函数图象,从最高点、最低点,分析函数的最值、极值.(2)从图象的对称性,分析函数的奇偶性.(3)从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.(4)从图象与x轴的交点情况,分析函数的零点等.2.利用函数的图象研究不等式思路当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.3.利用函数图象研究方程根的策略构造函数,转化为两熟悉函数图象的交点个数问题,在同一坐标系中分别作出两函数的图象,数形结合求解.(1)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是()A.{x|-1<x≤0}B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1<x≤1}D.{x|-1<x≤2}(2)设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是________.(1)C(2)[-1,+∞)[(1)作出函数y=log2(x+1)的图象,如图所示:其中函数f(x)与y=log2(x+1)的图象的交点为D(1,1),由图象可知f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<x≤1},故选C.(2)如图,要使f(x)≥g(x)恒成立,则-a≤1,∴a≥-1.]函数图象对称性的应用【例5】(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50(2)(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中,其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是()A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)(1)C(2)B[(1)由f(x)是奇函数知f(1+x)=f(1-x)=-f(x-1),则f(x+2)=-f(x).从而f(x+4)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.因为f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,所以f(0)=0.因为f(1-x)=f(1+x),所以当x=1时,f(2)=f(0)=0;当x=2时,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2;当x=3时,f(4)=f(-2)=-f(2)=0.综上,可得f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=12×[2+0+(-2)+0]+2+0=2.故选C.(2)设所求函数图象上任一点的坐标为(x,y),则其关于直线x=1的对称点的坐标为(2-x,y),由对称性知点(2-x,y)在函数f(x)=lnx的图象上,所以y=ln(2-x).故选B.][规律方法]函数图象对称性的常见结论关于点a,对称①若两个函数fx与gx的图象关于a,对称,则有fx=-ga-x②函数y=fx的图象关于a,对称,则有fx=-fa-x关于直线x=a对称①函数fx的图象关于直线x=a对称,则有fa+x=fa-x或fa-x=fx②若两个函数fx与gx的图象关于直线x=a对称,则有gx=fa-x③偶函数fx的图象关于直线x=a对称,则函数fx是周期为2a的周期函数④奇函数gx的图象关于直线x=a对称,则函数gx是周期为4a的周期函数.(1)直线y=k(x+3)+5(k≠0)与曲线y=5x+17x+3的两个交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2+y1+y2等于()A.2B.4C.6D.8(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(3-x)=
本文标题:2020版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第7节函数的图象教学案含解析理20
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