清华附中小升初题数学

一、填空题Ⅰ1.已知11111111111111112324232009232008A111111112342009B，那么B与A的差，BA.【分析】观察到A的最后一项和B较相似，所以可以从后往前减：111111111111...1111...12342009200923420081111111...1;2342008发现这差又和A的倒数第二项较相似，所以可以继续从后往前减，一直减到A的第一项，则结果为1.2.甲、乙两包糖的重量之比是21∶，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量之比变为75∶，那么两包糖重量的总和是克.【分析】甲包取出糖放入乙包后两包糖重量和不变。比例从2:1变成7:5，和分别是3和12，所以统一为12，也就是从8:4变成7:5，所以10克是1份，12份是120克。3.某商品按定价出售，每个可获利润45元，如果按定价的70%出售10件，与按定价每个减价25元出售12件所获的利润一样多，那么这种商品每件定价元.【分析】每个减价25元也就是说每个获利润20元，12件获利润240元。按定价的70%出售10件也获利润240元，所以每个获利润24元，比定价少21元。这21元是定价的30%，所以定价是70元。4.如图1，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、f六个点，并且OAB△、ABC△、BCD△、CDE△、DEF△的面积都等于1，则DCF△的面积等于.【分析】::2:1OCBBCDOBBDSS，::4:1OEDDEFODDFSS所以1333,4444DCFBCDDFODBDSS。5.将正整数从1开始依次按如图2所示的规律排成一个“数阵”，其中2在第1个拐角处，3在第2个拐角处，5在第3个拐角处，7在第4个拐角处，…….那么在第100个拐角处的数是.【分析】观察可发现，第2n个拐角之前有一个(1)nn的矩形，所以第2n个拐角处的数等于21nn，第100个拐角处的数为2551。ECAOBDFMN图122202119181716141513121110987654321图26.设101104107200910kA，这里A，k都是正整数，那么k的最大值为.【分析】只要看里面5的因子个数，因为2的因子个数一定足够多。101到2009里面共有(2009101)31637个数。其中，这里面的后625个一定含有125个5的倍数，25个25的倍数，5个125的倍数和1个625的倍数；前12个中，110和125共含有4个因子5。所以，含有5的因子个数为12525514160。7.在1，2，3，4，5的所有排列1a，2a，3a，4a，5a中，满足条件12aa，32aa，34aa，54aa的不同排列的个数是.【分析】24,aa中一定有1，另一个只能是2或3。如果24,aa是1，2，另外三个数可以任意排列，有2612种；如果24,aa是1，3，则3的两侧只能放4和5，有224种。所以，共有16种。二、填空题Ⅱ8.某天甲、乙两人完成一件工作，计划两人都从早上700∶开始工作，他们将在上午1100∶完成；如果甲比原计划晚1小时开始工作，乙比甲再晚半小时开始，那么他们将比原计划晚1小时20分钟完成；如果乙比原计划提前半小时开始工作，甲比乙晚1小时开始，那么他们完成工作的时刻是∶.【分析】根据题意，甲晚开始1小时，乙晚开始1个半小时，结果晚完成1小时20分钟，也就是说乙10分钟的工作量等于甲20分钟的工作量，乙的工效是甲的2倍。如果乙比原计划提前半小时，而甲相当于比原计划晚半小时，则完成工作的时刻仍然在甲乙之间靠近乙的三等分点处，也就是比原计划提前10分钟，10:50。9.已知正整数N的八进制表示为812345654321N（），那么在十进帛下，N除以7的余数与N除以9的余数之和是.【分析】288(12345654321)(111111)。根据n进制的弃1n法，8(111111)被7除余6，所以其平方被7除余1；89(11)，显然8(111111)被8(11)整除，所以其平方也被8(11)整除。因此两个余数之和为1。10.如图3，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且13AEAB，14CFBC，AF与CE相交于G，若矩形ABCD的面积为120，则AEG△与CGF△的面积之和为.【分析】过F做CE的平行线交AB于H，则::1:3EHHBCFFB，GFEDCBA图3所以122AEEBEH，2AGGF，122311033942AEGABFABCDSSS。同理，过E做AF的平行线交BC于I，则::1:2FIIBAEEB，所以13CFFBFI，CGGE，1152CGFAEGSS。所以两三角形面积之和为15。11.如图4，在加法算式中，八个汉字“清华附中龙班大学”分别代表0到9中的某个数字，不同的汉字代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数“清华附中”的最大值等于.【分析】为避免显示不兼容问题，现用拼音首字母代替汉字。原式为20091QHFZQHLBQHDX，即120097991QHFZQHDXQHLBDXLB。为了使QHFZ最大，则前两位QH先尽量大，最大可能为80。假设80QH，则继续化简为9FZDXLB。9DXLB最大为9712976，此时出现重复数字，需要进行调整，9612975，符合题意，所以最大值为8075。12.设a，b是两个正整数，它们的最小公倍数是9504，那么这样的有序正整数对,ab（）共有组.【分析】5395042311，(,)ab所含2的幂的情况可能是(0,5),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5)；(5,0),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)共11种，同理3的幂的情况有7种，11的幂的情况有3种，所以总共有1173231种.13.某校人数是一个三位数，平均每个班级36人，若将全校人数的百位数与十位数对调，则全校人数比实际少180人，那么该校人数最多可以达到人.【分析】设原人数为abc，则有180abcbac，即2ab。从大到小尝试，9703626...34，所以所求答案为972。+学大华清清华龙班中附华清9002图414.设A、E为正八边形ABCDEFGH的相对顶点，顶点A处有一只青蛙，除顶点E外青蛙可以从正八边形的任一顶点跳到其相邻两个顶点中任一个，落到顶点E时青蛙就停止跳动，则青蛙从顶点A出发恰好跳10次后落到E的方法总数为种.【分析】14.可以使用递推法。回到A跳到B或H跳到C或G跳到D或F停在E1步12步213步314步6425步1046步201487步34148步6848289步11648所以，10步跳到E有96种方法。三、解答题(请写出详细解题过程)：15.某工厂接到任务要用甲、乙两种原料生产A、B两种产品共50件，已知每生产一件A产品需甲原料9千克和乙原料3千克；每生产一件B产品需甲原料4千克和乙原料10千克.现在工厂里只有甲原料360千克和乙原料290千克，那么该工厂利用这些原料，应该生产A、B两种产品各多少件，才能完成任务？请求出所有的生产方案.【分析】设生产A产品x件，则生产B产品(50)x件。需要甲原料94(50)2005xxx千克，需要乙原料310(50)5007xxx千克。为避免原料不够用，则20053605007290xx，解得3032x。16.如图5，在时钟的表盘上任意作9个120°的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数.并举一个反例说明，作8个扇形将不能保证上述结论成立.【分析】共有12种可能的扇形，每个数恰好被4个扇形覆盖。这12个扇形分为4组，同一组的3个扇形恰好盖住整个表盘。所以，如果去掉3个，则一定还有一组是完整的，这组的3个扇形覆盖整个表盘。另一方面，如果从12个扇形中去掉4个扇形，则可以去掉盖住同一个数的4个扇形，这样这个数就没有被盖住。111098765432112图517.对四位数abcd，若存在质数p和正整数k，使kabcdp，且5pabcdp，求这样的四位数的最小值，并说明理由.【分析】17.因为2250，33522，555太大，所以3p。因为abcd是3的幂，所以四个数字中不能包含3以外的质因子，也就是说只能含有1，3，9。观察可知恰好有139922，所以最小的这样的四位数是1399。