等差数列教学案例

等差数列一、教材分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。二、学生学习情况分析我所教学的学生是我校高一（5）班的学生，经过一年的学习，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。三、设计思想1．教法⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。2．学法引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。四、教学目标1.知识与技能理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；掌握等差中项的概念．2.过程与方法通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，渗透由特殊到一般的思想．3.情感态度与价值观（1）通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。（2）通过师生，生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。五、教学重点与难点1.重点：（1）等差数列的概念。（2）等差数列的通项公式的推导过程及应用。2.难点：（1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。（2）理解等差数列是一种函数模型。六、教学过程教学环节情境设计和学习任务学生活动设计意图创设情景上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。倾听课堂引入探索研究由学生观察分析并得出答案：1.姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：第一天：6000，第二天：6500，第三天：7000，第四天：7500，第五天：8000，第六天：8500，第七天：9000.得到数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000（2）2.2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。3.某一款运动鞋的尺码（鞋底长，单位是cm）26,25.5,25,24.5,24,23.5,23,22.5得到一个新的数列.观察分析，发表各自的意见引向课题发现规律思考：同学们观察一下上面的这四个数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000.①48，53，58，63②26,25.5,25,24.5,24,23.5,23,22.5③看这些数列有什么共同特点呢？观察分析并得出答案:引导学生观察相邻两项间的关系，得到：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于500；对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于-1/2；由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。通过分析，激发学生学习的探究知识的兴趣，引导揭示数列的共性特点。总结提高[等差数列的概念]对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2。5，72。学生认真阅读课本相关概念，找出关键字。通过学生自己阅读课本，找出关键字，提高学生的阅读水平和思维概括能力，学会抓重点。[等差数列的通项公式]对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？这是我们接下来要学习的内容。⑴、我们是通过研究数列}{na的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。由学生经过分析写出通项公式：①这个数列的第一项是5，第2项是10（=5+5），第3项是15（=5+5+5），第4项是20（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是nan5②这个数列的第一项是48，第2项是53（=48+5），第3项是58（=48+5×2），第4项是63（=48+5×3），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是)1(548nan③这个数列的第一项是18，第2项是15。5（=18-2。5），第3项是13（=18-2。5×2），第4项是10。5（=18-2。5×3），第5项是8（=18-2。5×4），第6项是5。5（=18-2。5×5）由此可以猜想得到这个数列的通项公式是)1(5.218nan④这个数列的第一项是10072，第2项是10144（=10172+72），第3项是10216（=10072+72×2），第4项是10288（=10072+72×3），第5项是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到这个数列的通项公式是)1(7210072nan学会发现规律，并加以总结。⑵、那么，如果任意给了一个等差数列的首项1a和公差d，它的通项公式是什么呢？引导学生根据等差数列的定义进行归纳：213243,,(1),aadaadnaad个等式所以,12daa,23daa,34daa……引导学生进行理性分析与推导，从而得出公式。总结提高思考：那么通项公式到底如何表达呢？,12daa,2)(123daddadaa,3)2(134daddadaa……进一步的分析。得出通项公式：由此我们可以猜想得出：以1a为首项，d为公差的等差数列}{na的通项公式为dnaan)1(1也就是说，只要我们知道了等差数列的首项1a和公差d，那么这个等差数列的通项na就可以表示出来了。思考，并发表各自的意见。让学生有自主思考的时空。应用巩固例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第20项。⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？让两个学生分别对这两小题加以分析。让学生参与课堂。分析：⑴要求出第20项，可以利用通项公式求出来。首项知道了，还需要知道的是该等差数列的公差，由公差的定义可以求出公差；⑵这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中的项，就是要看它是否满足该数列的通项公式，并且需要注意的是，项数是否有意义。解：⑴由1a=8，d=5-8=-3，n=20，得49)3()121(820a⑵由1a=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为,14)1(45nnan由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。例题评述：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于na、1a、d、n（独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。聆听教师点评通过教师点评，提高学生对关键问题的认知水平。随堂练习：课本45页“练习”第1题；完成练习讲练结合，有利提高学生的知识应用水平例2.梯子的最高一级宽３３cm，最低一级１１０cm，中间还有１０级，各级的宽度成等差数列．计算中间各级的宽度．解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，.12,11033121naa，由通项公式，得daa112112即110=33+11d,所以d=7，因此47740,4073332aa61754,5474754aa75768,6876176aa89782,8277598aa103796,967891110aa令1a=11。2，表示4km处的车费，公差d=1。2。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费)(2.232.1)111(2.1111元a答：需要支付车费23。2元。学以致用，将所学知识应用到具体生活中去，加深对概念的理解。例题评述：这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用，要学会从实际问题中抽象出等差数列模型，用等差数列的知识解决实际问题。聆听教师点评通过教师点评，提高学生对关键问题的认知水平。课堂小结本节主要内容为：①等差数列定义：即daann1(n≥2)以学习小组为单位，在学习小组中，各自归纳自己对这堂课学生自己小结，使学生②等差数列通项公式：nadna)1(1(n≥1)的收获，后由小组代表总结归纳。对自己所学知识有更深刻的认识。七、版书设计等差数列一、课题导入二、讲授新课三、讲授新课四、课堂练习五、课后小结六、课后作业八、教学反思本节课通过生活中一系列的实例让学生观察，从而得出等差数列的概念，并在此基础上学会求等差数列的公差及通项公式，培养了学生观察、分析、归纳、推理的能力。充分体现了学生做数学的过程，使学生对等差数列有了从感性到理性的认识过程，也使本节课的三维目标真正落到实处。点评：本设计从生活中的数列模型，如举重级别、水库水位、储蓄的本息计算等问题引入，进而提出有待探索的问题，这有助于发挥学生学习的主动性。在探索的过程中，学生通过分析、观察，逐步抽象概括得出等差数列定义，强化了由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程。本课各环节的设计环环相扣、简洁明了、重点突出，引导分析细致、到位、适度。如：判断某数列是否成等差数列，这是促进概念理解的好素材；又如：把通项公式与一次函数发生联系，利用函数这一“上位”概念，来“同化”等差数列的概念，体现函数思想；还有让学生经历列表、画图象的过程，从“形”的角度，感受函数与数列的联系；此外，用方程的思想指导等差数列基本量的运算等等。学生在经历过程中，加深了对概念的理解和巩固。本节课教学体现了课堂教学从“灌输式”到“引导发现式”的转变，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率。教学手段和教学方法的选择合理有效，体现了新课程所倡导的“培养学生积极主动，勇于探索的学习方式”。