函数y=Asin(wx+φ)的图像

1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象课程目标能借助计算机画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象,并观察参数φ,ω,A对函数图象的影响；同时结合具体函数图象的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义.ω对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响规律的概括.【教学重点】【教学目标】【教学难点】将考察参数φ,ω,A对函数y=Asin(ωx+φ)的影响的问题进行分解,学习化繁为简的数学方法.1-123/2/2oyx.....关键点：(0,0),(,1),(,0),(,-1),(2,0).注意:五点是指使函数值为0及达到最大值和最小值的点.复习回顾223在前面我们曾学习过正弦函数y=sinx的图象，我们是用“描点法”借助三角函数线作出它的图象。我们知道，y=sinx在[0,2π]内的图象上起关键作用的点有五个。在我们知道正弦函数图象特征的前提下，便可以抓住这五个“关键点”作出正弦函数在一个周期的图象，这种作图方法称为“五点法”作图。在许多物理和工程技术中，经常会遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数解析式，那么它的图象有什么特征？它的图象与y＝sinx的图象又有什么关系呢？yox222312-1-2y＝sinx7654321-1-2-3-4-5-6-7-4-22468101214167654321-1-2-3-4-5-6-7-4-2246810121416yx20.01O5-1-50.020.030.04新课引入函数y=Asin(ωx+φ)的图象与参数A、ω、φ的关系又是怎样的？如何由函数y=sinx的图象经过变换得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象？函数y=sin(x+φ)与函数y=sinx的图象关系如何？φ的意义如何？函数y=sinωx与函数y=sinx的图象关系如何？ω的意义如何？函数y=Asinx与函数y=sinx的图象关系如何？A的意义如何？函数y=Asin(ωx+φ)与函数y=sinx的图象关系如何？可以将上述问题分解为以下几个步骤来进行：（一）探索A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)图像的影响：0010-102232xsinyx0010-102sin()3yx3Xxx23236237653探究一:探索φ对y=sin(x+φ)的图象的影响。画出并观察y=sinx与y=sin(x+π/3)的图像（一个周期上）整体代换21-1xysinoxy2233263576xysinxysinxysinxysinxysinxysinxysinxysin)3sin(xyxysin320010-102sin()3yx3Xxx23236237653规律一、φ对y=sin(x+φ)的图象的影响一般地,函数y=sin(x+φ),(φ≠0)的图象,可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当φ0时)或向右(当φ0时)平行移动|φ|个单位而得到.注:φ引起图象的左右平移,它改变图象的位置,不改变图象的形状.φ叫做初相.练习：函数y=3cos(x+)图像向右平移个单位所得图像的函数表达式为_____43思考：函数y=sin2x图像向右平移个单位所得图像的函数表达式为______125二、探索ω对y=sinωx的图象的影响1.列表：xx2x2sin424301000123220例2.作函数及的图象。xy21sinxy2sinxOy2122132.描点：y=sinxy=sin2xy=sin2xy=sinx纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1/2倍22.Y=sinx与y=sinx图象的关系x21siny对于函数1.列表：xyO211342.描点：y=sinx21y=sinx02π3π402232πxx21x21sin-10100y=sinxy=sinx21纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍函数、与的图象间的变化关系。xy2sinxysinxy21sin1-1223oxy2-324xy21sinxy2sin函数y=sinx(0且≠1)的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短(当1时)或伸长(当01时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的。1xy-11024sinxyxy2sinxy21sin注:ω决定函数的周期T=2π/ω,它引起横向伸缩(可简记为:小伸大缩).三、探索A对y=Asinx的图象的影响解：列表000sinx0-20202sinx0-1010sinx2ππ0x223212121描点作图xy012-1-2223π2π例3、作函数及的简图.xysin21xysin2xysin21xysin横坐标不变纵坐标缩短到原来的一半y=Sinxy=2Sinx纵坐标扩大到原来的2倍横坐标不变xysinxysin21xysin2函数、与的图象间的变化关系。xysin2xysinxysin21y=sinxy=2sinxy=sinx212231-１2-2oxy3-32函数y=Asinx（A＞0且A≠1）的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的。y=Asinx，x∈R的值域是［-A，A］，最大值是A，最小值是-A。三、函数y=Asinx(A0)图象注：A引起图象的纵向伸缩，它决定函数的最大（最小）值,我们把A叫做振幅。结论3一般地,函数y=Asin(ωx+φ)的图象可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有点的纵坐标伸长(当A1时)或缩短(当0A1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.221O-1-2xy2sinxy2sinxy12ysinx4.观察函数的图象和y=sinx的图象的关系.四、探索y=Asin(ωx+φ)和y=sinx的图象关系xAysin)的简图.3π3sin(2画出函数y例1.xx解:(1)列表xπππ7π5π6123126π3π0π2π2203-03023x3sin(2)3x32sin3xy例：作出的图像：(2)描点：(,0)6(,3)12(,0)37(,3)125(,0)6(3)连线：xyo653126π3127-332sin3xy观察函数的图象和y=sinx的图象的关系.1-12-2oxy3-365π6π3π35π23πy=sin(2x+)3y=sinxy=sin(x+)3xAysin32sin3xy函数y=Asin(ωx+φ),(A0,ω0),x∈R的图象可以看作是用下面的方法得到的:先把y=sinx的图象上所有的点向左(φ0)或向右(φ0)平行移动|φ|个单位;再把所得各点的横坐标缩短(ω1)或伸长(0ω1)到原来的1/ω倍(纵坐标不变);再把所得各点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍(横坐标不变).结论41-１2-2oxy3-326536335y=sin(2x+)3y=3sin(2x+)3方法1：),,(顺序变换按Ay=sin(x+)3y=sinx61276732函数y=sinxy=sin(x+)的图象3（3）横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍y=3sin(2x+)的图象3y=sin(2x+)的图象3（1）向左平移3纵坐标不变（2）横坐标缩短到原来的倍211-１2-2oxy3-32653635y=sin(2x+)3y=sinxy=sin2xy=3sin(2x+)3方法2：),,(顺序变换按A3（3）横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍y=3Sin(2x+)的图象3y=Sin(2x+)的图象321（1）横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变6（2）向左平移函数y=Sinxy=Sin2x的图象总结：三角函数的变换方法有两种：①先平移变换再周期变换在平移变换过程中，函数y＝sinx，x∈R到y＝sin(x+φ)，x∈R，x变成了(x+φ)；再在周期变换过程中，函数y＝sin(x+φ)，x∈R到y＝sin(ωx+φ)，x∈R，x变成了ωx.②先周期变换再平移变换在周期变换过程中，函数y＝sinx，x∈R到y＝sinωx，x∈R，x变成了ωx；再在平移变换过程中，函数y＝sinωx，x∈R到y＝sin(ωx+φ)，x∈R，因为y＝sin(ωx+φ)＝sin[ω()],把x变换成了().xx1、振幅变换2、平移变换练习：将函数y=sinx的图象何种变换可得到函数的图象。πy=2sin(+)6x1、平移变换2、振幅变换当函数y=Asin(ωx+φ),(A0,ω0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时,A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅;往复振动一次所需要的时间T=2π/ω,它叫做振动的周期;函数,)sin(xAy中单位时间内往复振动的次数f=1/T=ω/2π,它叫做振动的频率;ωx+φ叫做相位,φ叫做初相(即当x=0时的相位)。sinyxsin()6yx12sin()36yx例1、画出函数的图像将图像向右平移个单位6将横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变63sinxy将纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变63sin2xysinyx2sinyx12sin()36yx例1、画出函数的图像将纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变将横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变将图像向右平移个单位23sin2xy63sin2xy2p2p2p2p例2如图是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：2x/sABCDEFy/cm0.40.81.2O-22x/sABCDEFy/cm0.40.81.2O-2⑴这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？振幅A=2周期T=0.8s频率f=1.25⑵从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往返运动？如从A点算起呢？2x/sABCDEFy/cm0.40.81.2O-2O～DA～E2p2p2p2p⑶写出这个简谐运动的表达式.2x/sABCDEFy/cm0.40.81.2O-2,0,25sin2xxy课堂练习1.将函数y=sinx的图像上每一点的_____坐标不变，___坐标_____________,可得到函数的图像。2.将函数图像上每一点的____坐标不变，______坐标________________,可得到函数y=-sinx的图像。2sin()5yx纵横25缩短到原来的xy32sin３、函数(A0,0)的一个周期内的图象如图，则()y=Asin(ωx+)πy=3sin(x+)6πy=3sin(x+)3πy=3sin(2x+)6πy=3sin(2x+)3A.B.C.D.注：由y＝Asin(ωx＋φ)的性质或部分图象确定解析式解决此类问题的关键在于确定参数A，ω，φ，其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解．若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.(2)因为T＝2πω，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点确定T；相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.2.从寻找“五点法”中的第一零点－φω，0(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置，从而确定φ.依据五点列表法原理，点的序号与式子关系如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二