2015年全国各地中考数学模拟试卷精选汇编解直角三角形

图1解直角三角形一.选择题1.(2015·北京市朝阳区·一模)如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS=60m，ST=120m，QR=80m，则河的宽度PQ为A．40mB．60mC．120mD．180m答案：C二.填空题1．（2015·江苏江阴青阳片·期中）如图，小红站在水平面上的点A处，测得旗杆BC顶点C的仰角为60°，点A到旗杆的水平距离为a米．若小红的水平视线与地面的距离为b米，则旗杆BC的长为____▲____米。(用含有a、b的式子表示)答案：b+3a2.(2015·屯溪五中·3月月考)如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为__________答案：2倍根号23．（2015•山东潍坊广文中学、文华国际学校•一第1题图模）如图2，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD=34，则菱形ABCD的面积为cm2．答案：24；4.（2015·邗江区·初三适应性训练）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为▲.答案：552第2题5.（2015·重点高中提前招生数学练习）在某海防观测站的正东方向12海里处有A，B两艘船相遇，[w然后A船以每小时12海里的速度往南航行，B船以每小时3海里的速度向北漂移．则经过小时后，观测站及A，B两船恰成一个直角三角形．【答案】2[6.（2015·重点高中提前招生数学练习）已知∠A为锐角，且4sin2A－4sinAcosA＋cos2A＝0，则tanA＝．【答案】12【解析】由题意得(2sinA－cosA)2＝0，∴2sinA－cosA＝0，∴sinAcosA＝12.∴tanA＝sinAcosA＝12.7（2015·网上阅卷适应性测试）小聪有一块含有30°角的直角三角板，他想只利用量角器来测量较短直角边的长度，于是他采用如图的方法，小聪发现点A处的三角板读数为12cm，点B处的量角器的读数为74°，由此可知三角板的较短直角边的长度约为▲cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）．第4题答案：98.（2015·山东省东营区实验学校一模）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出___个这样的停车位．(2≈1.4)答案：17三.解答题1．（2015·江苏江阴长泾片·期中）2015年4月18日潍坊国际风筝节拉开了帷幕，这天小敏同学正在公园广场上放风筝，如图风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小亮同学，发现自己的位置与风筝和广场边旗杆PQ的顶点P在同一直线上.（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；（2）在（1）的条件下，若在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，绳子在空中视为一条线段，求绳子AC为多少米？（结果保留根号）答案：解：（1）在Rt△BPQ中，PQ=10米，∠B=30°，则BQ=tan60°×PQ＝103,……………2分又在Rt△APQ中，∠PAB=45°，则AQ=tan45°×PQ=10，即：AB=（103+10）（米）……………4分]（2）过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=103+10，∴AE=sin30°×AB=12（103+10）=53+5，……………6分∵∠CAD=75°，∠B=30°∴∠C=45°，……………7分在Rt△CAE中，sin45°＝AEAC，图8∴AC=2（53+5）=（56+52）（米）……………9分2．（2015·江苏江阴青阳片·期中）如图，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB＝5米．(1)求钢缆CD的长度；(精确到0.1米)(2)若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB＝120°，则灯的顶端E距离地面多少米？(参考数据：tan400＝0.84，sin400＝0.64，cos400＝34)答案：(1)在Rt⊿BCD中∵cos40°=CDBC…………1分]∴CD=040cosBC=5÷43=320…………3分(2)∵∠EAF=180°－120°=60°在Rt⊿AEF中cos60°=AEAF∴AF=AE·cos60°=1.6·21=0.8…………5分在Rt⊿BCD中tan40°=BCBDBD=BC·tan40°=5·0.84=4.2…………7分BF=4.2+2+0.8=7…………8分3．（2015·江苏江阴夏港中学·期中）如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且点A相距100km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处.（1）求点C与点A的距离（精确到1km）（2）确定点C相对于点A的方向（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）[w~w答案：#om]解法1:（1）如答图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D.············1分由图得，∠ABC=601575.·······························2分在Rt△ABD中，∵∠ABC=60°，AB=100，∴BD=50，AD=350····················3分∵BC=200，∴CD=BC－BD=150.·································4分∴在Rt△ABD中，AC=22CDAD=3100≈173（km）.答：点C与点A的距离约为173km.························5分（2）在△ABC中，∵2222)3100(100ACAB=40000，22200BC=40000.∴222BCACAB，∴90BAC.···················7分∴751590BAFBACCAF答：点C位于点A的南偏东75°方向.················8分解法2:（1）如答图3，取BC的中点D，连接AD.············1分由图得，∠ABC=601575···················2分∵D为BC的中点，BC=200，∴CD=BD=100.在△ABD中，∵BD=100，AB=100，∠ABC=60°，∴△ADB为等边三角形，··························3分∴AD=BD=CD，∠ADB=60°，∴∠DAC=∠DCA=30°.∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，···················4分∴AC=）（km173310022ABBC答：点C与点A的距离约为173km.·······················5分（2）由图得，751590BAFBACCAF[答：点C位于点A的南偏东75°方向.······························8分4．（2015·江苏江阴要塞片·一模）如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测量侧面支架的最高点E到地面的距离EF．经测量，支架的立柱BC与地面垂直，即∠BCA=90°，且BC=1.5m，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆AB与水平线AC的夹角∠BAC=30°，支撑杆DE⊥AB于点D，该支架的边BE与AB的夹角∠EBD=60°，又测得AD=1m．请你求出该支架的边BE及顶端E到地面的距离EF的长度．答案：解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，BC=1.5m，∴AB=3m，∵AD=1m，∴BD=2m，·········1分在Rt△EDB中，∵∠EBD=60°，∴∠BED=90°﹣60°=30°，∴EB=2BD=2×2=4m，·········3分过B作BH⊥EF于点H，∴四边形BCFH为矩形，HF=BC=1.5m，∠HBA=∠BAC=30°，········4分又∵∠HBA=∠BAC=30°，∴∠EBH=∠EBD﹣∠HBD=30°，∴EH=EB=2m，∴EF=EH+HF=2+1.5=3.5（m）．········7分答：该支架的边BE为4m，顶端E到地面的距离EF的长度为3.5m．5.(2015·屯溪五中·3月月考)如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．（结果都保留根号）(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．答案：解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD=xkm．在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°﹣45°=45°，∴BD=PD=xkm．在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°﹣60°=30°，∴AD=PD=xkm．∵BD+AD=AB，∴x+x=2，x=﹣1，∴点P到海岸线l的距离为（﹣1）km；（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，∴BF=AB=1km．在△ABC中，∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°．在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，∴BC=BF=km，∴点C与点B之间的距离为km．6.(2015·安徽省蚌埠市经济开发·二摸)合肥新桥国际机场出港大厅有一幅“黄山胜景”的壁画.聪聪站在距壁画水平距离15米的地面，自A点看壁画上部D的仰角为045，看壁画下部C的仰角为030，求壁画CD的高度.（参考数据：31.7，21.4，精确到十分位）答案：过A点作AB⊥DC于点B，则AB＝15，在RtABD中，045DAB，∴BD＝AB＝15………3分在RtABC中，030BAC，∴03tan3015533BCAB…………6分∴CD＝BD－BC＝15－531551.76.5答：壁画CD的高度为6.5米……………8分7.(2015·安庆·一摸)为维护南海主权，我海军舰艇加强对南海海域的巡航.2015年4月10日上午9时，我海巡001号舰艇在观察点A处观测到其正东方向802海里处有一灯塔S，该舰艇沿南偏东450的方向航行，11时到达观察点B，测得灯塔S位于其北偏西150方向，求该舰艇的巡航速度？（结果保留整数）（参考数据：73.13,41.12）答案：解：过点S作SC⊥AB，C为垂足.在Rt△ACS中，∠CAS=450,AS=802，∴SC=AC=80；………3分在Rt△BCS中，∠CBC=450－150=300,∴BC=803，AB=AC+BC=80+803；………6分∴该舰艇的巡航速度是（80+803）÷（11－9）=40+403≈109（海里/时）…………8分8.(2015·屯溪五中·3月月考)如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC=∠BAC，求tan∠BPC的值。答案：3分之49.(2015·合肥市蜀山区调研试卷)近年来，有私家车的业主越来越多，某小区为解决“停车难”问题，拟建造一个地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中水平线AB=10m，BD⊥AB，∠BAD＝20o，点C在BD上，BC=1m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以提醒驾驶员所驾车辆能否安全驶入．李建认为CD的长度就是限制的高度，而孙杰认为应该以CE的长度作为限制的高度．李建和孙杰谁说的对？请你判断并计算出限制高度.（结果精确到0.1m，参考数据：osin200.34，ocos200.94，ot