2015年上海数学高考真题文

一、填空题（本大题共14小题，满分56分）1．函数2()13sinfxx的最小正周期为____________.2．设全集UR.若集合{1,2,3,4},{|23}ABxx，则()UABð____________.3．若复数z满足31izz，其中i是虚数单位，则z____________.4．设1()fx为()21xfxx的反函数，则1(2)f____________.5．若线性方程组的增广矩阵为122301cc，解为35xy，则12cc____________.6．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为163，则a____________.7．抛物线22(0)ypxp上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p____________.8．方程1122log(95)log(32)2xx的解为____________.9．若,xy满足020xyxyy，则目标函数2zxy的最大值为____________.10．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为____________（结果用数值表示）.11．在6212xx的二项式中，常数项等于____________（结果用数值表示）.12．已知双曲线1C、2C的顶点重合，1C的方程为2214xy，若2C的一条渐近线的斜率是1C的一条渐近线的斜率的2倍，则2C的方程为____________.13．已知平面向量a、b、c满足ab，且,,1,2,3abc，则abc的最大值是____________.14．已知函数()sinfxx.若存在12,,,mxxx满足1206mxxx，且12231|()()||()()||()()|12mmfxfxfxfxfxfx*(2,)mmN，则m的最小值为____________.2015年上海数学高考真题（文）二、选择题（本大题共4小题，满分20分）15．设1z、2zC，则“1z、2z均为实数”是“12zz是实数”的（）.A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．下列不等式中，与不等式28223xxx解集相同的是（）.A．2(8)(23)2xxxB．282(23)xxxC．212238xxxD．223182xxx17．已知点A的坐标为(43,1)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转3至OB，则点B的纵坐标为（）.A．332B．532C．112D．13218．设(,)nnnPxy是直线*2()1nxynnN与圆222xy在第一象限的交点，则极限1lim1nnnyx().A．-1B．12C．1D．2三、解答题（本大题共有5小题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。19．如图，圆锥的顶点为P，底面的一条直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点.已知2PO，1OA，求三棱锥PAOC的体积，并求异面直线PA与OE所成角的大小.20．已知函数21()fxaxx，其中a为实数.（1）根据a的不同取值，判断函数()fx的奇偶性，并说明理由；（2）若(1,3)a，判断函数()fx在[1,2]上的单调性，并说明理由.21．如图，,,ABC三地有直道相通，5AB千米，3AC千米，4BC千米.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为()ft（单位：千米）.甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时.乙到达B地后原地等待.设1tt时乙到达C地.（1）求1t与1()ft的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11tt时，求()ft的表达式，并判断()ft在[,1]t上得最大值是否超过3？说明理由.22．已知椭圆2221xy，过原点的两条直线1l和2l分别于椭圆交于A、B和C、D，设AOC的面积为S.（1）设1122(,),(,)AxyCxy，用A、C的坐标表示点C到直线1l的距离，并证明1221||Sxyxy；（2）设1331:,,,333lykxCS，求k的值；（3）设1l与2l的斜率之积为m，求m的值，使得无论1l与2l如何变动，面积S保持不变.23．已知数列na与nb满足*112(),nnnnaabbnN.（1）若35nbn，且11a，求数列na的通项公式；（2）设na的第0n项是最大项，即0*()nnaanN，求证：数列nb的第0n项是最大项；（3）设*130,()nnabnN，求的取值范围，使得对任意*,,0nmnaN，且1,66mnaa.参考答案1、2、{1,4}3、1142i4、235、166、47、28、29、310、12011、24012、22144xy13、3514、815、A16、B17、D18、A19、因为2PO，1OA，所以三棱锥PAOC的体积111111112332323VSAOCOPAOCOOP因为//OEAC，所以异面直线PA与OE所成的角就是PA与AC的夹角.在ACP中，2AC，5APCP，过P作PHAC，则22AH,在RtAHP中，10cos10AHPAHAP,所以异面直线PA与OE所成角的大小10arccos10.20、（1）当0a时，1()fxx，显然是奇函数；当0a时，(1)1fa，(1)1fa，(1)(1)ff且(1)(1)0ff，所以此时()fx是非奇非偶函数.（2）设22[1,2]xx，则21121212121212121()()()()()[()]xxfxfxaxxxxxxaxxxxxx因为12[1,2]xx，所以120xx，1224xx，1214xx，所以122()12xx，121114xx，所以12121()0axxxx，所以12()()0fxfx，即12()()fxfx，故函数()fx在[1,2]上单调递增.21、（1）乙138ACthv==，设此时甲运动到点P，则甲1158APvt==千米，所以221()2cosftPCACAPACAPA22151533413()238858千米.（2）当178tt时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，所以878QBACCBtt，55PBABAPt，所以22()2cosftPQQBPBQBPBB2224(78)(55)2(78)(55)2542185tttttt，当718t时，乙在B点不动，设此时甲在P点，所以()55ftPBABAPt.所以237254218,88()755,18tttfttt所以当318t时，341()[0,]8ft，故()ft的最大值超过了3千米.22、（1）直线1l的方程为110yxxy，由点到直线的距离公式得点C到1l的距离为12212211yxxydxy，因为2211OAxy，所以12211122SOAdxyxy.（2）由2221ykxxy，消去y解得212112xk，由（1）得122111211333|1|||||2233612kSxyxyxkxk由题意知23|1|13612kk，解得1k或15k.（3）设1:lykx，则2:mlyxk，设11(,)Axy，22(,)Cxy，由2221ykxxy，的212112xk，同理2222221212()kxmkmk，由（1）知，21112212112111||||||||222||xmxkmSxyxyxkxxxkk2222||2122kmkkm，整理得24222222(81)(4162)(81)0SkSSmmkSm，由题意知S与k无关，则222281041620SSSmm，解得21812Sm.所以12m.23、（1）因为112()nnnnaabb，35nbn，所以112()2(3835)6nnnnaabbnn，所以{}na是等差数列，首项为11a，公差为6，即65nan.（2）由112()nnnnaabb，得1122nnnnabab，所以{2}nnab为常数列，1122nnabab，即1122nnabab，因为0nnaa，*nN，所以011112222nnbabbab，即0nnbb，所以{}nb的第0n项是最大项.（3）因为nnb，所以112()nnnnaa，当2n时，112211()()()nnnnnaaaaaaaa11222()2(2()3nnnn2n，当1n时，13a，符合上式，所以2nna，因为130a，且对任意*nN,11(,6)6naa，故0na，特别地2220a，于是1(,0)2，此时对任意*nN,0na，当102时，222nna，21212nna，由指数函数的单调性知，{}na的最大值为2220a，最小值为13a，由题意，mnaa的最大值及最小值分别是12321aa及21213aa，由21136及3621，解得104，综上所述，的取值范围是1(,0)4.