2017年上海数学卷详解

/2017年上海卷夏季高考真题数学试卷(详解)一、填空1.【答案】【解析】已知集合，集合，则            ．．2.【答案】【解析】若排列数，则            ．，所以，所以．3.【答案】【解析】不等式的解集为            ．或，解集为．4.【答案】【解析】已知球的体积为，则该球主视图的面积等于            ．．5.【答案】【解析】已知复数满足，则            ．．6./【答案】【解析】设双曲线的焦点为、，为该双曲线上的一点，若，则            ．．7.【答案】【解析】如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为            ．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为，∴，，∴．故答案为：．8.【答案】【解析】定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为            ．，∴的解为．9.已知四个函数：①；②；③；④．从中任选个，则事件“所选个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为            ．/【答案】方法一：方法二：【解析】①③、①④的图像有一个公共点，∴概率为．四个函数任选个的所有可能结果有，，，，，，其中有且仅有一个公共点的有，，所有概率为．①②①③①④②③②④③④①②①④10.【答案】【解析】已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则            ．．11.【答案】【解析】设、，且，则的最小值等于            ．，，∴，即，∴，，．12.如图，用个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合，点，过作直线，使得不在上的“”的点分布在的两侧．用和分别表示一侧和另一侧的“”的点到的距离之和．若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的为            ．/【答案】图图【解析】，，设记为“▲”的四个点为，，，，线段，，，的中点分别为，，，，易知为平行四边形，且对角线交点为，不妨记点，，，，，，，到直线的距离为，，，，，，，．四个点不在的同一侧，有两种可能：（1）若的两侧分别有二个点：如图，点，和，分别在直线的两侧，若，则有，即和所在的线段平行且相等，所以可构成相应的平行四边形，因此直线必过的中点．若点，和，分别在直线的两侧，同理可知直线必过的中点．于是，直线必过的对角线的交点．（2）若的一侧有三个点，另一侧有一个点：如图，点，，和分别在直线的两侧，若，即，由平面几何知识易得，，且，则有，即和所在的线段平行且相等，/所以可构成相应的平行四边形，因此直线必过的中点．若点，，和分别在直线的两侧，同理可知直线必过的中点．于是，直线必过的对角线的交点．综合以上两种情况，即满足已知条件的直线必然经过和的交点，因此：经过点的直线有无数条；同时经过点和的直线仅有一条；同时经过点和的直线仅有一条；同时经过点和的直线仅有一条；所以符合条件的点为，，．二、选择13.A.B.C.D.【答案】【解析】关于、的二元一次方程组的系数行列式为（ ）．C系数矩阵为，所以系数行列式为．14.A.等于B.等于C.等于D.不存在【答案】【解析】在数列中，，，则（ ）．B当，．15.A.B.C.D.【答案】【解析】已知、、为实常数，数列的通项，，则“存在，使得、、成等差数列”的一个必要条件是（ ）．A由二次函数的图像可知，不可能“存在，使得、、成等差数列”，所以若“存在，使得、、成等差数列”，则必然有，故选．/16.A.个B.个C.个D.无穷个【答案】【解析】在平面直角坐标系中，已知椭圆和．为上的动点，为上的动点，是的最大值．记在上，在上，且，则中元素个数为（ ）．D设，，则，当等号当且仅当时成立，∴有无数个，故选．三、解答17.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为和，侧棱的长为．求三棱柱的体积．设是中点，求直线与平面所成角的大小．．．．连接，，直三棱柱中到底面投影为，则直线与平面所成角的即为．由题意易知，，所以，所以直线与平面所成角为．18.（1）（2）已知函数，．求的单调递增区间．设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积．/（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】．．，，单调递增区间为．，∴或，根据为锐角三角形，，∴，．19.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差．求该地区第个月底的共享单车的保有量．已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？．保有量超过了容纳量．．，即第个月底，保有量达到最大，，    ，∴此时保有量超过了容纳量．20.（1）（2）（3）【答案】 在平面直角坐标系中，已知椭圆，为的上顶点，为上异于上、下顶点的动点，为正半轴上的动点．若在第一象限，且，求的坐标．设，若以、、为顶点的三角形是直角三角形，求的横坐标．若，直线与交于另一点，且，，求直线的方程．/（1）（2）（3）（1）（2）（3）【解析】．或或．．设，∵椭圆，为的上顶点，为上异于上、下顶点的动点，在第一象限，且，∴联立，解得．设，，，若，则，即，∴，解得，如图，若，则，即，∴，解得或，若，则点在轴负半轴，不合题意，∴点的横坐标为或或．设，∵，，∴，又设，，∵，∴，整理得：，∵，，，∴，且，∴，且，/以上两式平方相加，整理得，∴或（舍去），此时，直线的斜率（负值已舍去），如图，∴直线为．21.（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】（1）（2）【解析】设定义在上的函数满足：对于任意的、，当时，都有．若，求的取值范围．若为周期函数，证明：是常值函数．设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值．函数．证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”．．证明见解析．证明见解析．令，则因为恒成立，即恒成立，又，，故． 不妨设周期为，任取，则有，由题意可知对任意的，，所以，又，/（3）且，所以对任意的，，为常数．证明：充分性：若是常值函数，记，设的一个周期为，则，则对任意，，故是周期函数；必要性：若是周期函数，记其一个周期为．设集合，恒成立，任取，则必存在，使得，即，∵，∴．，∵．因此若，必有，且．而由（2）证明可知，对任意，，为常数．综上，必要性得证．