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【系统和状态变量】一个能存储输入信息的系统称为动力学系统。系统的状态是由其内部特征参数及这些参数的各阶时间响应组成的𝑛阶微分方程描述。每个𝑛阶微分方程包含有𝑛个线性无关的独立变量𝑥1(𝑡),𝑥2(𝑡),⋯,𝑥𝑛(𝑡),这些独立变量是足以描述系统的过去、现在和未来的个数最少的一组变量,称为系统的状态变量。状态变量的个数应等于微分方程的阶数,也等于系统独立储能元件的个数。对于已知系统,在确定状态变量时可以遵循一下标准:唯一性和多样性。【状态矢量】设系统有𝑛个状态变量𝑥1,𝑥2,⋯𝑥𝑛,它们都是时间𝑡的函数,将系统的𝑛个状态变量𝑥1(𝑡),𝑥2(𝑡),⋯,𝑥𝑛(𝑡)作为矢量𝑋(𝑡)的各个分量,则𝑋(𝑡)就称为状态矢量,记作:𝑿(𝑡)=[𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)⋮𝑥𝑛(𝑡)]【状态空间表达式】系统的状态空间表达式由系统的状态方程和输出方程两部分组成。其中系统的状态方程是由系统的状态变量构成的一阶微分方程组,它描述系统的本质特征和输入信号对系统的影响;输出方程一般是制定输出量时,该输出量与系统状态变量和输入信号之间的函数关系式。一般有:{𝒙̇=𝑨𝒙+𝑩𝒖,(状态方程)𝒚=𝑪𝒙+𝑫𝒖,(输出方程)其中:𝑨为系统矩阵,表征系统内部状态的联系;𝑩为为输入矩阵或控制矩阵,表示外部输入对系统的作用;𝑪为输出矩阵,表示状态变量在输出中的体现情况;𝑫为直接传递矩阵。【模拟结构图】状态空间表达式的框图绘制步骤:1.积分器的数目等于状态变量的数目,将它们画在适当位置,每个积分器的输出表示相应的某个状态变量,输入则表示这个状态变量的一阶导数;2.根据状态变量的系数增加放大器,根据耦合关系增加加法器;3.用线连接各元件,并用箭头示出信号传递方向。三类基本框图:加法器、积分器和放大器,它们分别表示线性运算(加或减)、一个微分算子和常系数。【状态空间表达式的建立】建立给定系统的状态空间表达式一般可通过三个途径:1.由系统框图建立,即根据系统各个环节的实际连接,写出相应的状态空间表达式;1)𝐾(𝑇𝑠+1)⁄2)1(𝑠2+8𝑠+64)⁄3)(s+z)(s+p)⁄2.从系统的物理或化学的机理出发进行推导;1)基希霍夫定理:𝑖𝑐=𝐶·𝑑𝑢𝑐𝑑𝑡⁄,𝑢𝐿=𝐿·𝑑𝑖𝑑𝑡⁄2)阻尼3.由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数予以演化而得。考虑一个单变量线性定常系统,它的运动方程是n阶线性常系数微分方程:𝑦(𝑛)+𝑎𝑛−1𝑦(𝑛−1)+⋯+𝑎1𝑦̇+𝑎0𝑦=𝑏𝑚𝑢(𝑚)+𝑏𝑚−1𝑢(𝑚−1)+⋯𝑏1𝑢̇+𝑏0𝑢相应的传递函数为:𝑊(𝑆)=𝑏𝑚𝑠𝑚+𝑏𝑚−1𝑠𝑚−1+⋯𝑏1𝑠+𝑏0𝑠𝑛+𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1+⋯+𝑎1𝑠+𝑎0⁄当𝑚𝑛时,输出方程中的𝑫=0;当𝑚=𝑛时,𝑫=𝑏𝑚≠𝟎。1)传递函数中没有零点→𝑷𝟓𝟎2)传递函数中有零点→𝑷𝟓𝟐【控制系统特征量】对于一个系统{𝑿=𝑨𝑿+𝑩𝑼̇𝒀=𝑪𝑿+𝑫𝑼有:1.它的特征多项式为|𝝀𝑰−𝑨|,对应特征方程为|𝝀𝑰−𝑨|=𝟎。2.特征方程的解[𝜆𝑖]称为系统的特征值,它同时也是系统矩阵𝑨的特征值。3.对于每一个𝝀𝒊可以得到一个对应的矢量𝒑𝒊,使得𝑨𝒑𝒊=𝝀𝒊𝒑𝒊,此时称𝒑𝒊为与𝝀𝒊对应的特征向量。4.系统的传递函数阵和极点是不变的。【状态空间表达式变换为对角标准型或约旦标准型】已知某系统的系统矩阵为A(A为任意矩阵),则有:1.A的特征值无重根,变换为对角标准型:1)|𝝀𝑰−𝑨|=𝟎→𝝀𝒊(互异特征根)→𝒑𝒊(特征向量);2)变换矩阵𝑻=[𝒑𝟏⋯𝒑𝒏];3)𝑨∗=𝑱;4)𝑩∗=𝑻−𝟏𝑩,𝑪∗=𝑪𝑻。2.A的特征值有重根,变换为约旦标准型:1)对于重根的各个特征向量有:{𝝀𝟏𝒑𝟏−𝑨𝒑𝟏=𝟎𝝀𝟐𝒑𝟐−𝑨𝒑𝟐=𝒑𝟏⋯𝝀𝒒𝒑𝒒−𝑨𝒑𝒒=𝒑𝒒−𝟏;2)对于互异根的各个特征向量有:𝑨𝒑𝒊=𝝀𝒊𝒑𝒊。3.A为标准型且A的特征值无重根时,转换矩阵T为范德蒙德矩阵。4.A为标准型且A的特征值有重根→𝑷𝟕𝟎。5.A为标准型且A的特征值有共轭复根→𝑷𝟕𝟎。【传递函数(阵)】U-X间的传递函数阵为:𝑾(𝑠)=𝑿(𝑠)𝑼(𝑠)=(𝑠𝑰−𝑨)−𝟏𝑩⁄;U-Y间的传递函数阵为:𝑾(𝑠)=𝒀(𝑠)𝑼(𝑠)=𝑪(𝑠𝑰−𝑨)−𝟏𝑩⁄+𝑫。【子系统在各种连接时的传递函数(阵)】1.并联:子系统的并联,是指各子系统的输入量相同,而组合成的新系统的输出是各子系统输出的代数和。设系统∑1和∑2并联,则新系统的输入𝑈=𝑈1=𝑈2,而新系统的输出Y=Y1±Y2;可得新系统状态空间表达式→𝑷𝟕𝟓子系统并联后所得新系统的传递函数阵等于各子系统传递函数阵的代数和;即𝑾=𝑾𝟏+𝑾𝟐。2.串联:子系统的串联,是指输入信号一次通过各个子系统最终输出。设系统∑1和∑2串联,则新系统的输入𝑈=𝑈1,而新系统的输出Y=Y2;可得新系统状态空间表达式→𝑷𝟕𝟔子系统串联后所得新系统的传递函数阵等于各子系统传递函数阵的乘积,并且子系统传递函数阵相乘时,先后顺序不能颠倒;即𝑾=𝑾𝟏·𝑾𝟐。【线性连续定常齐次方程的解】所谓齐次方程解,也就是系统的自由解,是系统在没有控制输入的情况下,由系统的初始状态引起的自由运动,也称为零输入解,其状态方程为:𝑿̇=𝑨𝑿。状态转移矩阵𝑒𝐴𝑡的作用是将𝑡0时刻的系统状态矢量𝑥(𝑡0)转移到t时刻的状态矢量𝑥(𝑡)。对于初始时刻𝑡=𝑡0时𝑋(𝑡0)=𝑋0,则齐次微分方程的自由解为:𝑋(𝑡)=𝑒𝐴𝑡𝑋(0)或有𝑋(𝑡)=𝑒𝐴(𝑡−𝑡0)𝑋0【𝑒𝐴𝑡的性质及其求法】1.𝛷(𝑡)=𝑒𝐴𝑡=𝐼+𝐴𝑡+12!𝐴2𝑡2+⋯+1𝑘!𝐴𝑘𝑡𝑘=∑1𝑘!𝐴𝑘𝑡𝑘∞𝑘=02.𝛷(𝑡)𝛷(𝜏)=𝛷(𝑡+𝜏)或𝑒𝐴𝑡·𝑒𝐴𝜏=𝑒𝐴(𝑡+𝜏)3.𝛷(𝑡−𝑡)=𝛷(0)=𝑒𝐴(𝑡+𝑡)=𝐼;𝑒𝐴𝑡·𝑒−𝐴𝑡=0;[𝑒𝐴𝑡]−1=𝑒−𝐴𝑡4.若𝑛×𝑛方阵A,B可交换,即AB=BA,那么𝑒𝐴𝑡·𝑒𝐵𝑡=𝑒(𝐴+𝐵)𝑡,否则不成立。5.𝛷(𝑡)=𝐴𝛷(𝑡)=𝛷(𝑡)𝐴̇6.已知转移矩阵𝑒𝐴𝑡求系统矩阵A有:A=𝑒−𝐴𝑡·𝑑𝑑𝑡𝑒𝐴𝑡或A=𝛷(0)̇=𝛷(𝑡)̇|𝑡=𝑜【𝛷(𝑡)的计算】1.对角线标准型与约旦标准型法若矩阵A为以对角阵,即𝐴=𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜆1,𝜆2,⋯,𝜆𝑛),那么𝑒𝐴𝑡也是对角阵,且有𝑒𝐴𝑡=𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑒𝜆1𝑡,𝑒𝜆2𝑡,⋯,𝑒𝜆𝑛𝑡);若𝑛×𝑛方阵A有𝑛个不相等的特征值𝜆𝑖(𝑖=1,2,⋯,𝑛),T是A的变换矩阵,Λ=𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜆1,𝜆2,⋯,𝜆𝑛),则有:𝑒𝐴𝑡=𝑇𝑒Λ𝑡𝑇−1。2.若𝑛×𝑛方阵A有重特征根,T是转化A为约旦标准型J的变换阵,即J=T−1AT,那么有:𝑒𝐴𝑡=T𝑒𝐽𝑡T−1。其中,若𝐽=[𝜆100𝜆100𝜆],则有𝑒𝐽𝑡=𝑒𝜆𝑡·[1𝑡𝑡2201𝑡001]3.拉式变换法𝑒𝐴𝑡=𝐿−1{[𝑠𝐼−𝐴]−1},其中有p(s+q)→p·𝑒−𝑞𝑡⁄4.凯莱-哈密顿定理法矩阵指数可表示为有限项之和𝑒𝐴𝑡=∑𝐴𝑖𝛼𝑖(𝑡)𝑛−1𝑖=01)当A的3个特征根互不相等时,𝛼𝑖(𝑡)满足[𝛼0(𝑡)𝛼1(𝑡)𝛼2(𝑡)]=[1𝜆1𝜆121𝜆2𝜆221𝜆3𝜆32]−1·[𝑒𝜆1𝑡𝑒𝜆2𝑡𝑒𝜆3𝑡]2)当A的3个特征根相等时,𝛼𝑖(𝑡)满足[𝛼0(𝑡)𝛼1(𝑡)𝛼2(𝑡)]=[001012𝜆1𝜆𝜆2]−1·[12!𝑡2𝑒𝜆𝑡𝑡𝑒𝜆𝑡𝑒𝜆𝑡]𝑒𝐴𝑡=𝛼0(𝑡)·𝐴0+𝛼1(𝑡)·𝐴1+𝛼2(𝑡)·𝐴2【线性连续定常非齐次状态方程的解】非齐次状态方程𝑿̇=𝑨𝑿+𝑩𝑼的解由两部分组成,第一部分是在初始状态𝑥(𝑡0)作用下的自由解(也称零输入解),第二部分为在系统输入𝑢(𝑡)的作用下的强制解(也称零状态解)。1.脉冲𝑈=𝐾·𝜆(𝑡),单位脉冲𝑈=𝜆(𝑡)在𝑥(𝑡=0)=𝑥0有响应为𝑥(𝑡)=𝑒𝐴𝑡·𝑥0+𝑒𝐴𝑡·𝐵𝐾2.阶跃U=K,单位阶跃U=1在𝑥(𝑡=0)=𝑥0有响应为𝑥(𝑡)=𝑒𝐴𝑡·𝑥0+𝐴−1(𝑒𝐴𝑡−𝐼)·𝐵𝐾3.斜坡U=t,单位斜坡U=Kt在𝑥(𝑡=0)=𝑥0有响应为𝑥(𝑡)=𝑒𝐴𝑡·𝑥0+[𝐴−2(𝑒𝐴𝑡−𝐼)−𝐴−1]·𝐵𝐾【系统运动的稳定性】系统的稳定性是指系统在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态,而当扰动消失后,系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种“顽性”。线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数而与系统的初始条件及外界扰动的大小无关;而非线性系统的稳定性还与初始条件及外界扰动的大小有关。线性定常系统只有唯一的一个平衡状态,非线性系统通常可有一个或多个平衡状态。【稳定性的几个定义】系统响应的幅值是有界的,则称平衡状态𝑋𝑒为李雅普诺夫意义下稳定。如果平衡状态𝑋𝑒是稳定的,而且随时间无限增长时,轨线不仅不超出边界,而且最终收敛于𝑋𝑒,则称这种状态𝑋𝑒渐近稳定。如果平衡状态𝑋𝑒是稳定的,而且从状态空间总所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性,则称这种平衡状态𝑋𝑒大范围渐近稳定。【李雅普诺夫法】1.第一法(直接法):通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。平衡状态𝑋𝑒渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部;若实部有零值无正值,则𝑋𝑒一致稳定。2.第二法(间接法):借助于一个李雅普诺夫函数来对系统平衡状态的稳定性做出判断。如果一个系统被激励后,其储存的能量随着时间的推移逐渐衰减,到达平衡状态时,能量将达最小值,那么这个平衡状态是稳定;反之,如果系统不断地从外界吸收能量,储能越来越大,那么这个平衡状态就是不稳定的;如果系统的储能不增加也不消耗,那么这个平衡状态就是李雅普诺夫意义下的稳定。设V(𝑋)为由n维向量X所定义的标量函数𝑋∈𝛺且在X=0处,恒有V(𝑋)=0。设V(𝑋)=𝑋𝑇𝑃𝑋,其中P=[P11P12P13P21P22P23P31P32P33]为实对称矩阵,∆𝑖为其各阶顺序主子式,则P(或V(𝑋))定号性的充要条件:1)若∆𝑖0,则P(或V(𝑋))正定;2)若∆𝑖{0,𝑖为偶数0,𝑖为奇数,则P(或V(𝑋))负定;3)若∆𝑖{≥0,𝑖=1,2,⋯,𝑛−1=0,𝑖=𝑛,则P(或V(𝑋))半正定;4)若∆𝑖{≥0,𝑖为偶数≤0,𝑖为奇数=0,𝑖=𝑛,则P(或V(𝑋))半负定;【几个稳定性判据】设一个标量函数V(𝑋)正定且对所有𝑥都有连续的一阶偏导:1.若𝑉(𝑋)̇半负定,那么平衡状态𝑋𝑒为一致稳定;2.若𝑉(𝑋)̇负定,或虽然𝑉(𝑋)̇半负定,但对任意初始状态𝑥(𝑡0)≠0来说,除去X=0外,对X≠0,𝑉(𝑋)̇不恒为零,那么平衡状态𝑋𝑒为渐近稳定;3.若𝑉(𝑋)̇正定,那么平衡状态𝑋𝑒是不稳定的。设线
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