高中数学-立体几何-线面角知识点

γmβαl立体几何知识点整理一．直线和平面的三种位置关系：1.线面平行2.线面相交3.线在面内二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。方法二：用面面平行实现。方法三：用线面垂直实现。若ml,，则ml//。方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、m不重合，则ml//。2.线面平行：方法一：用线线平行实现。////llmmllmmlml////mlmll////αlαlαAllαβ方法二：用面面平行实现。////ll方法三：用平面法向量实现。若n为平面的一个法向量，ln且l,则//l。3.面面平行：方法一：用线线平行实现。//',','//'//且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。//,////且相交mlml三．垂直关系：1.线面垂直：方法一：用线线垂直实现。lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。llmlm,nαlm'l'lαβmmβαlABCαllβαm2.面面垂直：方法一：用线面垂直实现。ll方法二：计算所成二面角为直角。3.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。mlml方法二：三垂线定理及其逆定理。POlOAlPAl方法三：用向量方法：若向量l和向量m的数量积为0，则ml。三．夹角问题。（一）异面直线所成的角：（1）范围：]90,0(（2）求法：方法一：定义法。步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。步骤2：解三角形求出角。（常用到余弦定理）余弦定理：abcba2cos222（计算结果可能是其补角）lβαmαlθcbaABCθlAOPαθAOPαβAOθPαnmlP方法二：向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角)：ACABACABcos（二）线面角（1）定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内的射影，PAO(图中)为直线l与面所成的角。（2）范围：]90,0[当0时，l或//l；当90时，l（3）求法：方法一：定义法。步骤1：作出线面角，并证明。步骤2：解三角形，求出线面角。（三）二面角及其平面角（1）定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。（2）范围：]180,0[（3）求法：方法一：定义法。步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面和，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。步骤2：解三角形，求出二面角。nAOθPαθn1n2dcbam'DCBAmn方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。步骤一：计算121212cosnnnnnn步骤二：判断与12nn的关系，可能相等或者互补。四．距离问题。1．点面距。方法一：几何法。步骤1：过点P作PO于O，线段PO即为所求。步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)2．线面距、面面距均可转化为点面距。3．异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离。如图，m和n为两条异面直线，n且//m，则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。如图，AD是直线m和n的公垂线段，m∥m`，则异面直线m和n的距离为cos2222abbacdnmOAP