椭圆定义及性质整合

椭圆定义及性质的应用一、椭圆的定义椭圆第一定义第一定义：平面内与两个定点12FF、的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.★过点1F作12PFF的P的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q的轨迹方程为222xya.推导过程：延长1FQ交2FP于M，连接OQ，由已知有PQ为1MF的中垂线，则1PFPM，Q为1FM中点，212OQFM=1212PFPF=a，所以Q的轨迹方程为222xya.（椭圆的方程与离心率学案第5题）椭圆第二定义第二定义：动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数)10(ee，则动点M的轨迹叫做椭圆.2PFed（d为点P到右准线的距离），右准线对应右焦点，其中2PF称作焦半径，左、右准线公式2axc..椭圆的焦半径公式为：1020,PFaexPFaex.推导过程：2200aPFedexaexc；同理得10PFaex.简记为：左加右减a在前.由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数.（离心率、焦点弦问题）例1：（2010全国卷Ⅱ理数12题）已知椭圆2222:1(0)xyCabab＞＞的离心率为32，过右焦点F且斜率为(0)kk的直线与C相交于,AB两点．若3AFFB，则k（）A.1B.2C.3D.2B【解析】解法一：1122(,),(,)AxyBxy，∵3AFFB，∴123yy，∵32e，设2,3atct，bt，∴222440xyb，直线AB方程为3xmyb.代入消去x，∴222(4)230mymbyb，∴212122223,44mbbyyyymm，则222222232,344mbbyymm，解得212m，则2k，0k.解法二：设直线l为椭圆的右准线，e为离心率，过,AB别作11,AABB垂直于l，11,AB为垂足，过B作BH垂直于1AA与H，设BFm，由第二定义得，11,AFBFAABBee，由3AFFB，得13mAAe,2mAHe，4ABm，则213cos423mAHeBAHABme，则6sin3BAH，tan2BAH，则2k，0k.故选B.（离心率、焦点弦问题）例2：倾斜角为6的直线过椭圆)0(12222babyax的左焦点F，交椭圆于,AB两点，且有3AFBF，求椭圆的离心率.33【解析】解法一：,AFBF为左焦点上的焦半径，所以过,AB两点分别作垂直于准线的直线且和准线交于11,AB两点，从B点作1BHAA.因为3AFBF，设BFm，则3AFm，4ABm，又因为11AFBFeAABB，则1BFmBBee,13mAAe，所以2mAHe，在ABH中，6BAH，所以32AHAB，解得33e.解法二：如图，设,3BFmAFm，则122,23BFamAFam，在12AFF中，由余弦定理得222394(23)cos62232mcammc，化简得23326cmbam①，222534(2)cos6222mcammc，化简得2322cmbam②，①＋②×3化简得，223bma，代入①解得33e.椭圆第三定义第三定义：在椭圆)0(12222babyax中，,AB两点关于原点对称，P是椭圆上异于,AB两点的任意一点，若PBPAkk,存在，则1222eabkkPBPA.（反之亦成立）.（★焦点在Y轴上时，椭圆满足22bakkPBPA）推导过程：设(,)Pxy，11(,)Axy，则11(,)Bxy．所以12222byax①，1221221byax②；由①－②得22122212byyaxx，所以22212212abxxyy，所以222111222111PAPByyyyyybkkxxxxxxa为定值．例1:已知椭圆)0(12222babyax的长轴长为4，若点P是椭圆上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交与NM,两点，记直线PNPM,的斜率分别为21,kk.若4121kk，则椭圆的方程为.1422yx.【解析】解法一：(,)Pxy，11(,)Mxy，则11(,)Nxy，因为12222byax，则)1(2222axby，)1(221221axby，则222212222211112222221111(1)(1)14xxbbyyyyyybaakkxxxxxxxxa.且42a，则椭圆方程为1422yx.解法二：由第三定义知4122ab，且42a，则则椭圆方程为1422yx.例2:已知椭圆)0(13422bayx的左右顶点分别为21,AA，点P在椭圆上，且直线2PA的斜率的取值范围是]1,2[，那么直线1PA的斜率的取值范围是.]43,83[.【解析】设1PA，2PA的斜率分别为21,kk，则432221abkk，又]1,2[2k，所以]43,83[1k.二、椭圆的性质焦点三角形椭圆焦点三角形的边角关系：122FFc，122PFPFa，周长为22ac.设12FPF.（1）当点P处于短轴的顶点处时，顶角最大；（2）221221cosbPFPFa，当且仅当12PFPF时取等号；（3）122tan2PFFSb；（4）12112122PFFBFFSScbbc，当且仅当12PFPF时取等号.推导过程：（1）2222222212002222222120004444cos12222PFPFcaexaexcacPFPFaexaex，当00x时，cos有最小值2222aca，即12FPF最大；（2）22212124cos2PFPFcPFPF，221212122cos24PFPFPFPFPFPFc则有，21221cosbPFPF，2221220max2221cos1cos12cos12bbbPFPF，（当点P为短轴顶点时取得最大值0，此时0cos2ba），代入化简得221221cosbPFPFa.（3）由（2）得12222212sin2sincostan21cos2222cos2PFFbbSb.（离心率问题）例1.已知12,FF分别是椭圆)0(1:2222babyaxC的左右焦点，椭圆C上存在一点P，使得1290FPF，则椭圆C的离心率的取值范围是__________.2[,1)2【解析】解法一：在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B位于短轴的交点处，由题意得145FBO，所以1FOOB,即cb,解得2[,1)2e.解法二：设(,)Pxy，由题意得椭圆C上存在一点P，使得12FPFP，即(,)(,)0xcyxcy，化简，得222xyc，与12222byax联立，消去y得2222222acabxab，由椭圆范围知220xa，即22222220acabaab，化简得222bca，解得2[,1)2e.变式1：已知12,FF分别是椭圆)0(1:2222babyaxC的左右焦点，椭圆C上存在一点P，使得12FPF为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是__________.2(,1)2【解析】在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B位于短轴的交点处，12FPF为钝角，所以145FBO，所以1FOOB,即cb,解得2(,1)2e.变式2：已知12,FF分别是椭圆)0(1:2222babyaxC的左右焦点，椭圆C上存在一点P，使得1260FPF（变式3：12120FPF），则椭圆C的离心率的取值范围是__________.1[,1)2【解析】在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B位于短轴的交点处，由题意得130FBO，所以11sinsin302cFBOa，则1[,1)2e.变式3：3[,1)2e.（离心率问题）例2.已知12,FF是椭圆)0(1:2222babyaxC的左右焦点，若在直线2axc上存在点P，使得线段1PF的中垂线过点2F，则椭圆的离心率的取值范围是________.3[,1)3e【解析】22PFc，22PFFH，即22accc解得：3[,1)3e.（焦点三角形面积问题）例3.已知椭圆21221925FFyx、，为焦点，点P为椭圆上一点，123FPF，求21PFFS.33【解析】解法一：设12,,PFmPFn则有10mn，在21FPF中由余弦定理得mnnmc222644，则mnmnnm31003)(642，则12mn，则333sin2121mnSPFF.解法二：122tan9tan3326PFFSb.（焦点三角形面积问题）例4.过椭圆)0(1:2222babyaxC中心的直线与椭圆交于,AB两点，右焦点为2(c,0)F，则2ABF的最大面积为_________.bc【解析】由题意得,AB关于原点对称，则有212ABFAFFSS，故当A位于短轴的顶点处时，面积最大，为bc.（焦点三角形边角问题）例5.已知椭圆22194xy的两个焦点分别为12,FF，点P在椭圆上，（1）在椭圆上满足12PFPF的点P的个数是？（2）12PFPF的最大值是？（3）12FPF为钝角时，点P的横坐标的取值范围是？【解析】（1）画图知，所求点的个数即为圆222xyc与椭圆的交点个数，由于52cb，故有4个点.（2）解法一：设12,,PFmPFn则有6mn，212()92mnPFPFmn，当且仅当mn时取等号.解法二：由性质得2221220min2221cos1(cos)12cos12bbbPFPF，（当点P为短轴顶点时取得最大值，此时0cos2ba），代入化简得221221cosbPFPFa.（3）如图所示，222xyc与椭圆有4个交点，假设在第一象限的交点为00(,)Pxy，此时122FPF，设12,,PFmPFn则有6mn，222420mnc，解得4,2mn（或2,4mn），由等面积法得0222ycmn，则045y，则由勾股定理得22200()cxyn，解得035x，则由对称性可知，点P的横坐标的取值范围是3535(,)55.(焦点三角形中与距离最值有关的问题):注意在三角函数与解析几何中最值问题的一个很重要的用法：（1）三角形两边之和大于第三边，当三点在一条线上时取得最小值；（2）两边之差小于第三边.焦点三角形中的最值问题一般是距离之和的最值，且存在定点，故可以用三角形中的不等式来求；★若点A为椭圆内一定点，点P在椭圆上，则有：111AFPAPFAF.（三角形三边关系）★若点A为椭圆内一定点，点P在椭圆上，则有：12122aAFPAPFaAF.推导过程：连接11,,APAFPF，21122APPFAPaPFaAPPF由三角形三边关系得111AFPAPFAF，则有12122aAFPAPFaAF（椭圆定义的应用，三角形三边关系）.焦点弦经过椭圆焦点的弦是焦点弦.（1）焦点弦长可用弦长公式求22212121212211()41()4ABkxxxxyyyyk；*（2）设焦点弦所在的直线的倾斜角为，则有22222||=cosabABac.*（3）2211baBFAF（F为某一焦点）.（4）2AB