初一数学上册知识点及例题

丰富的图形世界（一）一、重点知识归纳及讲解1、常见几何体的特征及分类几何体是从实物中抽象出来的数学模型，常见的几何体有圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球体等，它们各有自身的特征，既有共同点，又有不同点，可以根据其共同点进行分类，可以根据其不同点进行区分.2、点、线、面、体之间的关系点动成线、线动成面、面动成体.几何图形是由点、线、面构成的；组成体的面可以是平的，也可以是曲的；面与面相交得到线、线可以是直的，也可以是曲的；线与线相交得到点.3、棱柱的特性在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上、下底面是相同的多边形，侧面都是长方形.根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱等，它们的底面图形的形状分别为三边形、四边形、五边形、六边形，长方体和正方体都是四棱柱.底面多边形的边数为n的棱柱有2n个顶点、3n条棱、n条侧棱、(n＋2)个面、2个底面、n个侧面.4、棱柱、圆柱、圆锥的表面展开图棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形连成的，沿棱柱表面不同的棱剪开，可以得到不同组合方式的平面展开图.圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成的.圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成的.二、难点知识剖析1、棱柱与圆柱的异同点相同点：圆柱和棱柱都有两个底面.不同点：圆柱的底面是圆形，而棱柱的底面是多边形；圆柱的侧面是一个曲面，而棱柱的侧面是四边形.2、圆柱、圆锥的侧面展开图圆柱的侧面展开图是一个长方形，一边长是底面的圆周长，相邻一边的长是圆柱的高.圆锥的侧面展开图是扇形，其半径为圆锥母线长，弧长是圆锥的底面周长.三、典型例题解析例1、将如图所示的几何体进行分类，并说明理由.分析：几何体的分类不是惟一的，可根据其共同点来进行适当的分类，可按柱体、锥体、球体来分，也可按组成几何体的面的平或曲来分.答案：若按柱体、锥体、球体来分类：（2）（3）（5）（6）是柱体，（4）是锥体，（1）是球体.若按几何体的面是平还是曲来分类：（1）（4）（6）是一类，组成它们的面中至少有一个面是曲面；（2）（3）（5）是一类，组成它们的各个面都是平面.例2、将图1所示的三角形绕直线l旋转一周，可以得到如图2所示的几何体的是哪一个三角形？分析：通过观察和想象可知，三角形绕直线l旋转一周后，A图得到圆锥，C图得到圆锥，D图得到的几何体是圆柱里挖掉一个圆锥，B图得到图2所示的几何体.答案：图1中B图所示的三角形绕直线l旋转一周，可以得到图2所示的几何体.例3、如图所示的八棱柱，它的底面边长都是5厘米，侧棱长都是6厘米，回答下列问题：（1）这个八棱柱一共有多少面？它们的形状分别是什么图形？哪些面的形状、面积完全相同？（2）这个八棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？（3）沿一条侧棱将其侧面全部展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？答案：（1）这个八棱柱一共有10个面，其中上、下两个底面，8个侧面，上、下底面是八边形，侧面都是长方形；上、下底面的形状、面积完全相同，8个侧面的形状、面积完全相同.（2）这个八棱柱一共有24条棱，其中侧棱的长度都是6厘米，其它棱长是5厘米.（3）将其侧面沿一条棱展开，展开图是一个长方形，长为5×8=40（厘米），宽为6厘米，所以面积是40×6=240（平方厘米）.例4、如图所示是一多面体的展开图，每个面内都标注了字母，请根据要求回答问题：（1）如果面A在多面体的底部，那么哪一面会在上面？（2）如果面F在前面，从左面看是面B，那么哪一面会在上面？（3）如果从右面看是面C，面D在后面，那么哪一面会在上面？答案：（1）面F；（2）面C；（3）面A例5、如图所示，哪些图形可以折成一个棱柱？分析：由图形可知围成的应为四棱柱（正方体），由四棱柱的特征可知只能有（1）、（3）、（4），而（2）的底面重合在一起了.答案：由四棱柱的特征可知（1）、（3）、（4）可折成一个棱柱.例6、把半径为10cm的半圆折成一个圆锥，则这个圆锥的底面积是多少平方厘米？分析：如图所示，把半圆折成圆锥时发现，半圆的弧长就是圆锥底面圆的周长.解：设底面圆的半径为r，则有丰富的图形世界（二）一、重点知识归纳及讲解1、用平面截几何体所得截面的形状用一个平面从不同的方向去截同一个几何体，所得到的截面形状可能是不同的．在用一个平面去截几何体时，注意观察几何体在切截过程中的变化，充分想像截面可能的形状，可以先找出平面和几何体的面相交而成的线，然后再判断这些线围成的截面形状.2、从不同方向观察物体从不同方向观察同一物体时，可能看到不一样的结果．当观察画在纸上面的立体图形时，只能通过想像，推出从其他方向观察这个物体所可能得到的结果.3、物体的主视图、左视图、俯视图从不同的方向观察同一物体时，可能看到不同的图形，其中，把正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，合称三视图.这里所说的主视图、俯视图、左视图是相对于观察者而言的，位于物体不同方向的观察者，他们所画出的主视图、俯视图、左视图可能是不同的.4、多边形多边形是由一些线段首尾顺次相连围成的封闭图形，多边形根据它的边数可以分为三角形（即三边形）、四边形、五边形等，多边形的边数为n（n≥3）的叫做n边形．在多边形中，三角形是最基本的图形.从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形，n边形可以分割成(n－2)个三角形，这样，多边形可以化归为三角形来研究．5、圆、弧及扇形一条线段绕着它的一端旋转一周形成的图形叫做圆.圆上两点之间的部分叫做弧，弧是一条曲线.由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形，扇形是由一条曲线和两条线段组成的封闭图形.一个圆可以被它的半径分割成若干个扇形.二、难点知识剖析1、物体三视图的画法及识别对于简单物体的三视图，要能识别观察方向，能够想像出物体的原形.对于简单物体以及立方体的简单组合，画它的三视图的关键是确定它们有几列，以及每列方块的个数.由俯视图画主视图和左视图的方法有二：一是先摆出几何体，再画出主视图和左视图；二是先由俯视图确定主视图，左视图的列及每列方块的个数，主视图与俯视图列数相同，其每列方块数是俯视图该列中最大数字，左视图的列数与俯视图的行数相同，其每列的方块数是俯视图该行中的最大数字.2、平面图形的组合和分割再复杂的平面图形都是由若干简单的基本图形组合而成的，生活中许多美丽的图案，就是由三角形、正方形、长方形、多边形、圆、扇形等基本图形组成．对于平面图形能进行简单的分割和组合.三、典型例题解析例1、一正方体截去一角后，剩下的几何体有多少条棱？多少个面？多少个顶点？分析：因为截去一角有多种截法，所以应分情况讨论.解：（1）如图（1），剩下的几何体有15条棱，7个面，10个顶点．（2）如图（2），剩下的几何体有14条棱，7个面，9个顶点．（3）如图（3），剩下的几何体有13条棱，7个面，8个顶点．（4）如图（4），剩下的几何体有12条棱，7个面，7个顶点．例2、一几何体被一平面所截后，得一圆形截面，则原几何体是什么形状？分析：要使截面是一个圆形，则必须使原几何体有一个曲面，这样的几何体可能是圆锥、圆柱、圆台或球.解：如图所示，原几何体可能是：（1）圆锥；（2）圆柱；（3）圆台，（4）球.例3、分别画出如图所示由五块方块摆成两种不同形状的三视图.分析：在画三视图前，要仔细观察物体形状，充分发挥空间想像能力，分析它的三视图的可能形状.解：（1）的三视图如图（1）所示.（2）的三视图如图（2）所示.例4、如图所示是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请画出这个几何体的主视图、左视图.分析：从正面看，它有三列，每列的方块数依次是2、3、2；从左面看，它有两列，每列的方块数分别是3、2.解：这个几何体的主视图、左视图如图所示.例5、从一个七边形的某个顶点出发，分别连结这个点和其余各顶点，可以把这个七边形分割成多少个三角形？先想一想，再画一画.分析：按这种方式分割，四边形可分成两个三角形；五边形可分成三个三角形；六边形可分成四个三角形；七边形可分成五个三角形，一般地，n边形可分成（n－2）个三角形.解：七边形可被分割成五个三角形，如图所示.正数与负数一、定义1、正数：像，3，2，1.8%这样大于0的数叫做正数．2、负数：像－3，－2，－2.7%这样在正数前面加上负号“－”的数叫做负数．3、0：0既不是正数，也不是负数．一般地“＋”号往往省略不写，但负数前面的“－”号不能省略.对于正数和负数的概念，不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数.学会用正、负数表示具有相反意义的量．相反意义的量包含两个要素：一是意义相反.如向东的反向是向西，上升与下降，收入与支出．二是他们都是数量．数0既不是正数又不是负数，是正数和负数的分界，是基准．二、例题讲解例1、下列四组数中，都是正数或都是负数的是（）①4，1，，0.3②2，－3，0③－1，－0.1，④－2009，－2，0A．①③④B．②④C．①③D．①②③分析：根据正数和负数的特征判断．答案：C例2、将下列各数填入相应的括号内：－2.5，3.14，－2，＋72，－0.6，0，．分析：要想判断一个数是正数还是负数，首先看它是否为零，如果不是零，就看它前面有没有负号，如果有负号那么它就是负数．答案：正数，负数注意：正数前面的“＋”号通常省略.正负数形式上的区别是符号不同，与已学的数的联系是在以前学习的非0整数和分数前加上符号．例3、下列说法中不正确的是（）A．0是自然数B．0是正数C．0是整数D．0表示没有答案：B例4、一个物体沿着南北方向在运动，若规定向南记作正，向北记作负，则该物体：（1）向南运动20米记作__________，向北运动50米记作__________；（2）＋25表示向____运动__________米，－26表示向__________运动__________米；（3）原地不动记作__________．答案：（1）＋20米，－50米；（2）南，25，北，26；（3）0注意：如果没有规定哪种意义的量用正数表示，所以先要指明哪种意义的量用正数表示，其相反意义的量用负数表示.负数表示的是与其具有相反关系的量.例5、学校篮球队选拔男队员，按规定队员的标准身高为175cm，高于标准身高记录为正，低于标准身高记录为负，现有参选队员5人，量得他们的身高后，分别记录为－6cm，－4cm，＋1cm，＋2cm，－7cm，若实际选拔的男队员的身高为170cm～180cm，那么上述五人中有几人可入选？答案：3人可入选．例6、数学考试成绩以96分以上为优秀，以96分为标准，老师将某组的八名同学的成绩简记为：＋4，－3，＋10，－10，＋16，－17，0，＋7.5．（1）分别写出这八名同学的实际成绩；（2）求出这八名同学的平均分．答案：（1）100，93，106，86，112，79，96，103.5．（2）96.9375．例7、小虫从某点O出发在同一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次记为（单位：厘米）：＋5，－3，＋10，－8，－6，＋12，－10．（1）小虫离开出发点O最远时是多少厘米？（2）小虫从出发到最后停下来回共爬行多少厘米？答案：（1）5，5＋（－3）＝2，2＋10＝12，12＋（－8）＝4，4＋（－6）＝－2，－2＋12＝10，10＋（－10）＝0，最远时是12cm．（2）5＋3＋10＋8＋6＋12＋10=54cm．例8、观察下列一列数：1，－2，－3，4，－5，－6，7，－8，－9，……（1）请写出这一列数中的第100个数和第2009个数．（2）在前2010个数中，正数和负数分别有多少个？（3）2011和－2011是否在这一列数中，若在，请写出它们分别是第几个数？若不存在，请说明理由．答案：（1）100，－2009．（2）670个正数，1340个负数．（3