张量理论(完整版)

张量理论讲稿河南理工大学肖建华2008年3月1张量理论在高等数学课程结束后，了解张量理论是学习现代自然科学的必要条件。讲义经由对张量理论和方法的论述建立现代科学的张量微分工具概念，为学习现代科学技术打好基础。讲义主要内容是:任意坐标系,坐标变换,几何不变量,张量定义,张量运算,张量微分,张量方程,工程应用.掌握讲义中的这些内容能满足阅读理解当代科技文献的要求。但如要深入下去，需要更广泛的阅读。对以应用科学为主的非数学专业本科生，详细讲述数学的张量理论是无必要的。在大多数国外非数学专业本科生（及研究生）教科书中，一般是以附录形式给出教科书中用到的张量（一般地说是2-4个课时）。这有点过于简单化。并且，各自采用不同的张量表达方式，造成一定的混乱。在部分教科书中，将张量等同于矩阵。这种过度简化对阅读理解当代科技文献是有害的。故本讲义寻求一种折衷方案。应当指出的是：在最新的前沿方向科技文献中张量表达方式已经或正在取代传统的微积分表达方式。故，掌握张量理论是进入科技前沿方向的必要条件。第一讲:任意坐标系两个有序点间的连线构成一个矢量。在直角坐标系中，从原点到任一点的连线构成对这个点的矢量表达方式。在物理上，矢量对应于力或位移量，是客观量。作为一个客观量，它是不随观测者的坐标选择而变的。这是爱因斯坦提出的保证物理学基本规律客观性的要求。出于这一原则性，张量表述成为物理学基本规律客观性的基本表达方式。图。1任意矢量的直角坐标表示张量理论讲稿河南理工大学肖建华2008年3月2在直角坐标表示中，矢量cr可以表示为：21)(eYeXcOAcAArrrr⋅+⋅==（1）式中，AX，AY为A点的坐标值。1er为X轴的单位坐标对应的矢量，2er为Y轴的单位坐标对应的矢量。按照矢量运算的法则，矢量cr可以分解成二个矢量)(OBaarr=和)(BAbbrr=的和，即：bacrrr+=（2）如果用BX，BY表示B点的坐标值，则有：21eYeXaBBrrr⋅+⋅=（3）21)()(eYYeXXbBABArrr⋅−+⋅−=（4）将（3）和（4）式代入（2）式就得到：212121])()[(][eYeXceYYeXXeYeXcbacAABABABBrrrrrrrrrrr⋅+⋅=⋅−+⋅−+⋅+⋅=+=（5）与（1）式相比，可见（2）式的矢量cr与（1）式的矢量cr是一致性。取ar和br方向为坐标轴方向，可以定义新的坐标x和y。并定义新的坐标x和y对应的单位坐标矢量1gr和2gr。如图2所示。图。1给定矢量的任意坐标表示在新的坐标系下则有：1)(gaOBaarrr⋅==（6）2)(gbBAbbrrr⋅==（7）则给定的矢量cr可在新的坐标系下表示为：张量理论讲稿河南理工大学肖建华2008年3月321gbgacrrr⋅+⋅=（8）在直角坐标系中，有：011212211=⋅=⋅=⋅eeeeeerrrrrr（9）将（6）和（7）式与（3）和（4）式相比，得到：)(1211eYeXagBBrrr⋅+⋅=（10）])()[(1212eYYeXXbgBABArrr⋅−+⋅−=（11）并且有：2221111)()()(aYXgggBB+=⋅=rr（12）2222222)()()(bYYXXgggBABA−+−=⋅=rr（13）和：baYYYXXXggggggBABBAB⋅−⋅+−⋅=⋅=⋅==)()(12212112rrrr（14）对（1）式的直角坐标表示，有：222)()()(AAYXccc+=⋅=rr不难验证，对新的坐标系下表示（8），有：222221122)(2)()(gbgbagac⋅+⋅⋅+⋅=（15）对二种表达方式，cr是不变的。由于B点的选择是任意的，故坐标系),(yx称为任意系。在任意系),(yx中，记A点的坐标为)(axA=，)(byA=，则（8）式变成为：21gygxcAArrr⋅+⋅=（16）式（15）成为：222221122)(2)()(gygyxgxcAAAA⋅+⋅⋅+⋅=（17）略去下标A，对任一矢量cr，有：2121gygxceYeXcrrrrr⋅+⋅=⋅+⋅=（18）二式在形式上是完全一样的，故任一矢量在任意坐标（21,xx）下的通用表达方式为：2211gxgxcrrr⋅+⋅=（19）物理学上，称：任意坐标（21,xx）为逆变坐标，而单位坐标值对应的矢量（21,ggrr）就称为协变基矢。逆变坐标和协变基矢一起定义了一个任意坐标系或称一般坐标系。显然，取：11egrr=，22egrr=（20）就是直角坐标系。故可用（YX,）表直角坐标系，并简称（YX,）为直角直角坐标系。但对张量理论讲稿河南理工大学肖建华2008年3月4任意系，则只能称（21,xx）为逆变坐标，只有在给出（21,ggrr）后，才能形成一个坐标系。在物理学中，坐标系的给出方式为：在逆变坐标（21,xx）及该逆变坐标表示下的协变度规场122211,,ggg。一般地说，122211,,ggg称为协变度规张量的分量。（简称ijg为协变张量）。将以上结果推广到3维空间（321,,xxx），则有：iigxgxgxgxcrrrrr⋅=⋅+⋅+⋅=332211（21）此时，ijg有9个分量，由于jiijgg=，故只有6个独立分量。称ijg为协变对称张量。上式中，重复指标表求和，这一法则也称为爱因斯坦求和法则。对三维直角坐标系，有：100010001333231232221131211==⋅=ggggggggggggjiijrr（22）或简记为：jiijjijiδδ=⎩⎨⎧≠===,0,1100010001（23）称ijδ，jiδ为克罗内克记号。对一般的三维非直角坐标系，ijijgδ≠（24）特别地，取坐标值为三维直角坐标值（332211,,XZxXYxXXx=→=→=→），但坐标轴方向任意，则定义的斜坐标系的度规张量分量为：1332211===ggg)2,1(cos2112θ==gg)3,2(cos3223θ==gg（25）)1,3(cos1331θ==gg式中，θ表二轴的夹角。一般地说，在斜坐标系中，jjiiiiieLeLeLeLgrrrrr⋅=⋅+⋅+⋅=332211（26）故有：kjkiklljkilkljkilljkkijiijLLLLeeLLeLeLggg=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=δrrrrrr)()(（27）即：1)()()(232221=++iiiLLL张量理论讲稿河南理工大学肖建华2008年3月5kjkiLLji=),(cosθ，ji≠显然，),,(321iiiLLL是i轴在直角系中的方位矢量。对任一矢量cr有：jjjjiiiieXeLxgxgxgxgxcrrrrrrr⋅=⋅⋅=⋅=⋅+⋅+⋅=332211（28）故有：jiijLxX⋅=（29）取jil满足方程：jikijkLlδ=⋅（30）则有：kkiijikjijiikjjkjxxLlxLxlXl=⋅=⋅=⋅⋅=⋅δ（31）即：jkkjlXx⋅=（32）由于坐标基矢变换jiL是ier到igr的变换（一般地把它看成正变换），而矢量cv的坐标分量由iX到ix的变换是jkl（一般地把它看成逆变换），而这二个变换分别是正变换和逆变换，故：称jjiieXgxcrrr⋅=⋅=形式为协变基下的逆变坐标表示。也称为逆变矢量分量表示。上面的表达方式也称为长度表达方式。注:对任一个直角坐标系基矢ier，可以定义它对应的单位面元法向为ier，特别地，把任一矢量cr的方向看成是面积的法向，其大小为面积，则有：iiiigxeXcrrr⋅=⋅=（33）则这种表达方式下，iX（和ix）为面积含义，这种表达方式也就称为面积坐标表达方式。在张量理论中，称（321,,XXX）（和321,,xxx）为协变坐标，而称ier（和igr）为逆变基矢。相应的，jiijgggrr⋅=为逆变度规张量（面积度规张量）。特别的，对直角坐标系，因取iieerr=，故iiXX=。无需区别逆变和协变，但对任意系，这是必须区分的。也正是因为在直角坐标系下无需区别逆变和协变，故许多书中把张量等同于矩阵。一般地，ijg称为二阶协变张量，ix为一阶逆变张量（普通矢量），常数为0阶张量。而jig为混合二阶张量。张量理论讲稿河南理工大学肖建华2008年3月6第二讲:坐标变换如果空间中的每一点都有一个矢量ur，而且它随点坐标),,(ZYX的不同而可能不同，则矢量ur为空间位置的函数，记为：),,(ZYXuurr=（34）它就形成一个物理上的矢量场，如：电场，磁场，引力场，惯性力场，等等。物理上，称直角坐标系),,(ZYX为测量系。如果在测量系中，332211),,(),,(),,(eZYXueZYXueZYXuurrrr⋅+⋅+⋅=（35）则，对每一点),,(ZYX，都可选择一个适当的坐标),,(321xxx和单位坐标的基矢igr来形成一个任意坐标系。此时，坐标和基矢都是空间点位置的函数，即：),,(ZYXxxii=（36）),,(ZYXggiirr=（37）如果它们关于),,(ZYX是连续可微的，并且有唯一解),,(3211xxxXX=，),,(3212xxxXY=，),,(3213xxxXZ=，而且该解关于),,(321xxx是连续可微的，就称坐标),,(321xxx和基矢igr来形成的坐标系为曲线坐标系。常用的曲线坐标系有：平面极坐标系，柱坐标系和球坐标系。1．平面极坐标系令：221)()(YXrx+==，XYxarctan2==θ（38）则有：θcos1⋅==rXX，θsin2⋅==rXY（39）则任一空间点Rr为：θθggrReYeXRrrrrrrr⋅+⋅=⋅+⋅=21（40）显然，有：rRgr∂∂=rr，θθ∂∂=Rgrr（41）利用复合函数微分法有：21erYerXrYYRrXXRrRgrrrrrrr⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=（42）21eYeXYYRXXRRgrrrrrr⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=θθθθθθ（43）将（39）式代入，就有：张量理论讲稿河南理工大学肖建华2008年3月721sincoseegrrrr⋅+⋅=θθ（44）21cossinerergrrr⋅⋅+⋅⋅−=θθθ（45）为保证唯一性，要求]2,0[πθ∈。如图。3所示。图。3平面极坐标系在平面极坐标系中，有：21212121),(),()cossin()sincos(]cossin[),(]sin[cos),(),(),(eYXueYXueruueruueerrueerugrugruuyxrrrrrrrrrrrrrrrr⋅+⋅=⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅−⋅=⋅+⋅−⋅⋅+⋅+⋅⋅=⋅+⋅=θθθθθθθθθθθθθθθθθ（46）或写成矩阵形式：21cossinsincoseerrggrrrrr⋅⋅⋅−=θθθθθ（47）和：θθθθθuurruuryx⋅⋅⋅−=cossinsincos（48）yxruurruu⋅−=θθθθθcossinsincos（49）按上一讲的标记法，有：θθθθcossinsincos⋅⋅−=rrLij（50）张量理论讲稿河南理工大学肖建华2008年3月8rrlijθθθθcossinsincos−=（51）显然，它们满足方程（30）。原则上，在逆变坐标下，基矢是协变的。故用逆变分量上标表示在协变基矢下的普通矢量场。如果定义：θθθθθθggrrggrrrrrr⋅−=cossinsincos（52）则有：θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθgrugrugruruguugrgrugrgrugrugruurrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr⋅+⋅=⋅⋅+⋅−+⋅⋅+⋅=⋅+⋅⋅+⋅−⋅⋅=⋅+⋅=),(),()cossin()sincos(]cos[sin),(]sin[cos),(),(),(（53）即：θθθθθθuurruurr⋅−=cossinsincos（54）在逆变坐标下，对比（52）式，在逆变基矢下，矢量场的分量变换系数与基矢变换相同；而在协变基矢下，矢量场的分量变换系数与基矢变换反逆。故称θθθθgrugr