中考复习微专题----辅助圆问题及题例(四)

中考复习微专题----辅助圆问题及题例（四）模型6：定角定高(探照灯模型)【基本模型】如图，已知直线l外一点P，点P到直线AB的距离为定值h(定高)，∠APB度数为定值(定角)，点M为AB的中点，思考一下：(1)若∠APB＝90°，线段AB什么时候最小呢？结论：如图，∵PM≥h，∴AB＝2PM≥2h，∴如图当PM⊥AB(或者PA＝PB)时，AB有最小值，此时AB＝2h；模型6：定角定高(探照灯模型)【基本模型】如图，已知直线l外一点P，点P到直线AB的距离为定值h(定高)，∠APB度数为定值(定角)，点M为AB的中点，思考一下：(2)若∠APB＝α≠90°线段AB什么时候最小呢？分析：过点P作PH⊥l于点H，则PH＝h，如图(作出点A,B,P的外接圆⊙O)，设⊙O的半径为r。此时，∠APB＝𝟏𝟐∠AOB＝∠AOM＝α，∵PO＋MO＝r＋r·cosα≥PM≥PH＝h，∴如图，当PM⊥AB(或者PA＝PB)时，PO＋MO＝PM＝PH＝h，即r＋r·cosα＝h，此时r取得最小值，𝐫=𝒉𝟏+cos𝜶对应AB长的最小值=2r·sinα=2∙𝒉𝟏+cos𝜶·sinα.1.(2019陕西定心卷)如图，已知点P是直线l外一点，点A、B均在直线l上，PH⊥l，且PH＝3，∠APB＝60°，求△PAB面积的最小值．解：如图(作出点A,B,P的外接圆⊙O)，设⊙O的半径为r。过点O作OM⊥AB.此时，∠APB＝𝟏𝟐∠AOB＝∠AOM＝60°，∵PO＋MO＝r＋r·cos60°≥PM≥PH＝3，∴如图，当PM⊥AB(PM与PH重合)(或者PA＝PB)时，PO＋MO＝PM＝PH＝3，即r＋r·cos60°＝3，此时r取得最小值，𝐫=3𝟏+cos60°=𝟐对应AB长的最小值=2r·sinα=2×𝟐·sin60°=𝟐𝟑.∴𝑺∆𝑨𝑩𝑪的最小值=𝟏𝟐∙𝑨𝑩·P𝐇=𝟏𝟐×𝟐𝟑×𝟑=𝟑𝟑.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，动点M、N在斜边AB上，∠MCN＝45°，（1）求MN的最小值．（2）求△CMN面积的最小值．解：如图(作出点M,N,C的外接圆⊙O)，设⊙O的半径为r。过点O作OF⊥MN,过点C作CE⊥MN。容易求得CE=𝟐此时，∠MCN＝𝟏𝟐∠MON＝∠MOF＝45°，∵CO＋OF＝r＋r·cos45°≥CF≥CE＝𝟐，∴如图，当CF⊥MN(CF与CE重合)(或者CM＝CN)时，CO＋FO＝CF＝CE＝𝟐，即r＋r·cos4𝟓°＝𝟐，此时r取得最小值，𝐫=𝟐𝟏+cos45°=𝟐𝟐−𝟐对应MN长的最小值=2r·sinα=2×(𝟐𝟐−𝟐)·sin45°=𝟒−𝟐𝟐.∴𝑺∆𝑪𝑴𝑵的最小值=𝟏𝟐∙𝑴𝑵·C𝐄=𝟏𝟐×(𝟒−𝟐𝟐)×𝟐𝟐=𝟒𝟐−𝟒.如图，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l，且AD＝3，∠BAC＝60°，求△ABC面积的最小值；（1）求BC的最小值．（2）求△ABC面积的最小值．如图，有一个矩形花园ABCD，AB＝30m，BC＝40m．根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？(结果保留整数．参考数据：≈1.4，≈1.7)．模型6：定角定高(探照灯模型)【基本模型】如图，已知直线l外一点P，点P到直线AB的距离为定值h(定高)，∠APB度数为定值(定角)，点M为AB的中点，思考一下：(1)若∠APB＝90°，线段AB什么时候最小呢？结论：如图，∵PM≥h，∴AB＝2PM≥2h，∴如图当PM⊥AB(或者PA＝PB)时，AB有最小值，此时AB＝2h；模型6：定角定高(探照灯模型)【基本模型】如图，已知直线l外一点P，点P到直线AB的距离为定值h(定高)，∠APB度数为定值(定角)，点M为AB的中点，思考一下：(2)若∠APB＝α≠90°线段AB什么时候最小呢？分析：过点P作PH⊥l于点H，则PH＝h，如图(作出点A,B,P的外接圆⊙O)，设⊙O的半径为r。此时，∠APB＝𝟏𝟐∠AOB＝∠AOM＝α，∵PO＋MO＝r＋r·cosα≥PM≥PH＝h，∴如图，当PM⊥AB(或者PA＝PB)时，PO＋MO＝PM＝PH＝h，即r＋r·cosα＝h，此时r取得最小值，𝐫=𝒉𝟏+cos𝜶对应AB长的最小值=2r·sinα=2∙𝒉𝟏+cos𝜶·sinα.本节课你的收获是什么？