九年级数学期末复习专题训练

专题训练(一)一元二次方程一、选择题1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(A)A.(x＋1)2＝2(x＋1)B.1x2＋1x－2＝0C.ax2＋bx＋c＝0D.x2＋2x＝x2－1解析：方程(x＋1)2＝2(x＋1)可化为x2－1＝0，是一元二次方程；方程1x2＋1x－2＝0不是整式方程，故不是一元二次方程；方程ax2＋bx＋c＝0中，未指明a≠0，不一定是一元二次方程；方程x2＋2x＝x2－1可化为2x＋1＝0，是一元一次方程.故选A.2.若关于x的方程x2－2x＋c＝0有一根为－1，则方程的另一根为(D)A.－1B.－3C.1D.3解析：设方程的另一根为m，由题可得，－1＋m＝2，解得m＝3，所以方程的另一根为3.故选D.3.一元二次方程2x2－5x－2＝0的根的情况是(B)A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根解析：本题考查一元二次方程根的判别式.∵Δ＝(－5)2－4×2×(－2)＝410，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.4.若x＝－2是关于x的一元二次方程x2＋32ax－a2＝0的一个根，则a的值为(C)A.－1或4B.－1或－4C.1或－4D.1或4解析：根据题意，将x＝－2代入方程x2＋32ax－a2＝0，得4－3a－a2＝0，即a2＋3a－4＝0，左边因式分解得，(a－1)(a＋4)＝0，∴a－1＝0或a＋4＝0，解得a＝1或－4.故选C.5.关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是－2和1，则nm的值为(C)A.－8B.8C.16D.－16解析：本题考查一元二次方程根与系数的关系.由一元二次方程根与系数的关系可得－2＋1＝－m2，则m＝2；－2×1＝n2，则n＝－4，∴nm＝(－4)2＝16，故选C.6.输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表：x20.520.620.720.820.9输出－13.75－8.04－2.313.449.21分析表格中的数据，估计方程(x＋8)2－826＝0的一个正数解x的大致范围为(C)A.20.5＜x＜20.6B.20.6＜x＜20.7C.20.7＜x＜20.8D.20.8＜x＜20.9解析：由表格可知，当x＝20.7时，输出值为负值，当x＝20.8时，输出值为正值，且输出值随x的增大而增大，∴输出值为0对应的x应在20.7～20.8之间，即20.7＜x＜20.8.7.中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2015年年人均收入为200美元.预计2017年年人均收入将达到1000美元.设2015年到2017年该地区民居年人均收入平均年增长率为x，可列方程为(B)A.200(1＋2x)＝1000B.200(1＋x)2＝1000C.200(1＋x2)＝1000D.200＋2x＝1000解析：本题考查列一元二次方程解应用题.根据题意，设平均年增长率为x，则2016年年人均收入为200(1＋x)美元，2017年年人均收入为200(1＋x)(1＋x)美元，即200(1＋x)2美元，所以可列得方程200(1＋x)2＝1000，故选B.8.若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是(B)解析：∵关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×(kb＋1)＞0，即4－4kb－4＞0，解得kb＜0，∴k，b异号且不等于0.选项A中，k＞0，b＞0，所以A错误；选项B中，k＞0，b＜0，所以B正确；选项C中，k＜0，b＜0，所以C错误；选项D中，b＝0，所以D错误.故选B.二、填空题9.方程2x－4＝0的解也是关于x的方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m的值为－3.解析：解方程2x－4＝0得x＝2.把x＝2代入方程x2＋mx＋2＝0，得4＋2m＋2＝0，解得m＝－3.10.关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＞－1.解析：∵关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝22＋4k＞0，解得k＞－1.11.已知代数式7x(x＋5)＋10与代数式9x－9的值互为相反数，则x＝223537.解析：根据题意得，7x(x＋5)＋10＋9x－9＝0，整理得，7x2＋44x＋1＝0.∵Δ＝442－28＝1908，∴x＝－44±190814＝－22±3537.12.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且x21－x22＝10，则a＝214.解析：本题考查一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式的运用.根据题意可知：x1＋x2＝5，x1x2＝a，∴x21－x22＝(x1＋x2)(x1－x2)＝(x1＋x2)·（x1－x2）2＝(x1＋x2)·（x1＋x2）2－4x1x2＝525－4a＝10，解得a＝214.13.某社区将一块正方形空地划出如图所示区域(阴影部分)进行硬化后，原空地一边减少了5m，另一边减少了4m，剩余矩形空地的面积为240m2，则原正方形空地的边长是20m.解析：设原正方形的边长为xm，依题意有(x－5)·(x－4)＝240，解得：x1＝20，x2＝－11(不合题意，舍去)，即原正方形的边长是20m.14.4个数a，b，c，d排列成abcd，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为：abcd＝ad－bc.若2xx＋1x－2x＋1＝6，则x＝－4或1.解析：根据题意得2x(x＋1)－(x＋1)(x－2)＝6，整理得x2＋3x－4＝0，(x＋4)(x－1)＝0，x＋4＝0或x－1＝0，所以x1＝－4，x2＝1，即x的值为－4或1.三、解答题15.解方程：(1)2x2－3x－2＝0；(2)x(2x＋3)－2x－3＝0.解：(1)(2x＋1)(x－2)＝0，2x＋1＝0或x－2＝0，所以x1＝－12，x2＝2；(2)x(2x＋3)－(2x＋3)＝0，(2x＋3)(x－1)＝0，2x＋3＝0或x－1＝0，所以x1＝－32，x2＝1.16.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同.(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元.问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x%.依题意得：400×(1－x%)2＝324，解得：x＝10，或x＝190(舍去).答：该种商品每次降价的百分率为10%.(2)设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品(100－m)件.第一次降价后的单件利润为400×(1－10%)－300＝60(元/件)；第二次降价后的单件利润为：324－300＝24(元/件).依题意得：60m＋24×(100－m)＝36m＋2400≥3210，解得：m≥22.5.∴m≥23.答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元.第一次降价后至少要售出该种商品23件.17.已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0①有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k＝1时，求x21＋x22的值.解：(1)∵方程①有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2k＋1)2－4×1×k20.解得k－14，∴k的取值范围是k－14.(2)当k＝1时，方程①为x2＋3x＋1＝0.∴由根与系数的关系可得x1＋x2＝－3，x1·x2＝1.∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－3)2－2×1＝9－2＝7.18.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－4mx＋4m2－9＝0的两实数根.(1)若这个方程有一个根为－1，求m的值；(2)若这个方程的一个根大于－1，另一个根小于－1，求m的取值范围；(3)已知直角△ABC的一边长为7，x1，x2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m的值.解：(1)∵一元二次方程x2－4mx＋4m2－9＝0有一个根为－1，∴4m＋1＝－(4m2－9)，∴m＝1或m＝－2.(2)∵x2－4mx＋4m2＝9，∴(x－2m)2＝9，即x－2m＝±3，∴x1＝2m＋3，x2＝2m－3.∵2m＋3＞2m－3，∴2m＋3－1，2m－3－1，解得－2＜m＜1.(3)由(2)知道方程x2－4mx＋4m2－9＝0的两根分别为2m＋3，2m－3.若直角△ABC的斜边长为7，则有49＝(2m＋3)2＋(2m－3)2，解得m＝±624，∵边长必须是正数，∴m＝624.若斜边为2m＋3，则(2m＋3)2＝(2m－3)2＋72，解得m＝4924，综上m＝624或m＝4924.专题训练(二)二次函数一、选择题1.在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是(A)A.y＝2x2B.y＝2x－2C.y＝ax2D.y＝ax2解析：y＝2x2是二次函数，故A符合题意；y＝2x－2是一次函数，故B错误；y＝ax2中a＝0时，不是二次函数，故C错误；y＝ax2不是关于自变量的整式，故不是二次函数，故D错误.故选A.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是(A)解析：∵y＝ax2＋bx＋c的图象的开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的左侧，∴b＞0，∴一次函数y＝ax＋b的图象经过一、二、三象限.故选A.3.抛物线y＝x2＋bx＋c(其中b，c是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y＝0(1≤x≤3)有交点，则c的值不可能是(A)A.4B.6C.8D.10解析：∵抛物线y＝x2＋bx＋c(其中b，c是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y＝0(1≤x≤3)有交点，∴4＋2b＋c＝6，1≤－b2×1≤3，解得6≤c≤14，故选A.4.已知二次函数y＝ax2－bx－2(a≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(－1，0).当a－b为整数时，ab的值为(A)A.34或1B.14或1C.34或12D.14或34解析：依题意知a＞0，b2a＞0，a＋b－2＝0，故b＞0，且b＝2－a，a－b＝a－(2－a)＝2a－2，于是0＜a＜2，∴－2＜2a－2＜2，又a－b为整数，∴2a－2＝－1，0或1，故a＝12，1或32，b＝32，1或12，∴ab＝34或1，故选A.5.下表是满足二次函数y＝ax2＋bx＋c的五组数据，x1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个解，则下列选项中正确的是(C)x1.61.82.02.22.4y－0.80－0.54－0.200.220.72A.1.6＜x1＜1.8B.1.8＜x1＜2.0C.2.0＜x1＜2.2D.2.2＜x1＜2.4解析：观察表格可知，y随x的值逐渐增大，ax2＋bx＋c的值在2.0～2.2之间由负到正，故可判断ax2＋bx＋c＝0时，对应的x的值在2.0～2.2之间，即二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，当自变量x的值在2.0～2.2之间时，可能与x轴有交点，即2.0＜x1＜2.2.故选C.6.在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y＝x2＋5x＋6，则原抛物线的解析式是(A)A.y＝－(x－52)2－114B.y＝－(x＋52)2－114C.y＝－(x－52)2－14D.y＝－(x＋52)2＋14解析：设旋转之前的抛物线上有点(x，y)，绕原点旋转180°后，变为(－x，－y)，点(－x，－y)在抛物线y＝x2＋5x＋6上，将(－x，－y)代入y＝x2＋5x＋6得－y＝x2－5x＋6，所以旋转之前的抛物线的方程为y＝－x2＋5x－6＝－(x－52)2＋14，∴向下平移3个单位长度的解析式为y＝－(x－52)2＋14－3＝－(x－52)2－114，即原抛物线的解析式.故选A.7.点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象