兰州大学——数学物理方法期末试卷A

得分数学物理方法常用的公式（注：仅供参考）：拉普拉斯算子作用于标量场在圆柱坐标系和球坐标系下的表示：22222211uuuuz；22222222111sinsinsinuuuurrrrrr勒让德多项式的微分表示：21P12!llllldxxldx勒让德-傅里叶级数展开：定义在x的区间1,1的至少分段光滑函数fx可以展开为广义傅里叶级数：0Plllfxax其中，系数1121P2lllafxxdx勒让德多项式的生成函数：102210Pcos,012cosPcos,llllllllrrRRRRrRrrRr在球坐标下下的梯度表示,,,,,,11,,sinrurururureeerrr一、（本题10分，每小题5分）（1）证明：krk，其中xyzrxeyeze，k为常矢量。（2）计算矢量场2sinxyzAxyezyeyze的旋度。二、（本题10分，每小题5分)将下列复数写成代数形式，其中i为虚数单位，（1）i；（2）cos23i三、（本题10分)已知解析函数fz的实部323uxxy，且满足00f，求该解析函数fz。四、（本题10分)将函数2132fzzz以01z为中心的邻域内做洛朗级数展开。五、（本题10分)计算实变函数积分22012cosdxIx，01六、（本题10分)设有一根均匀的柔软的细弦，当它做微小的横振动时，除受内部张力作用外，还受到阻尼力的作用，设阻尼力与速度成正比，比例系数为k，即单位长度的弦所受阻力,duxtfkvkdt。试写出带有阻尼的弦振动方程。七、（本题10分)将定解问题22222000,,0,0,0,0,,sin,,,0,0xxlttuxtuxtaxlttxnauxtuxttluxtuxtxlt的边界条件齐次化，设,,,uxtVxtWxt，并假设,Vxt满足齐次边界条件，请写出关于,Vxt的相应的定解问题。（注：不必对边条件齐次化后的定解问题进行求解）八、（本题15分)求解定解问题的解2221110,01,02cos4cos4,uuu九、（本题15分)在均匀电场0E中放置一个半径为R并接地的导体球，求导体球放入电场达到静电平衡后，球外各点的电势分布，并算出各点的电场强度和导体表面的电荷分布。一、（本题10分，每小题5分）（1）证明：krk，其中xyzrxeyeze，k为常矢量。（2）计算矢量场2sinxyzAxyezyeyze的旋度。（1）证明：xxyyzzxyzxyzkrkekekexeyezekxkykzxyzxyzxyzxyzkxkykzkxkykzkxkykzeeexyz（3分）xxyyzzkekekek（2分）（2）解：xyzyxxzzzxyzxyzeeeAAAAAAAeeexyzyzzxxyAAA（3分）2sinxzzyexe（2分）二、（本题10分，每小题5分)将下列复数写成代数形式，其中i为虚数单位，（1）i；（2）cos23i解：（1）1112224ikikieek为整数11cossin44kik（3分）当k为偶数时，1122cossin4422iii（1分）当k为奇数时，1122cossin4422iii（1分）（2）2222333311cos2322iiiiiiieeee（3分）221cossincossin23333eiei222222221131322244eeeeieeeei13ch2sh222i（2分）三、（本题10分)已知解析函数fz的实部323uxxy，且满足00f，求该解析函数fz。解：根据科西-黎曼条件：,,uxyvxyxy，,,uxyvxyyx（2分）所以有22,,33vxyuxyxyyx（2分）,,6vxyuxyxyxy（2分）即有2223,6333dvxyxydxxydydxyy所以23,3vxyxyyc（2分）由条件00f，可得0c（1分）所以有3223333fzxxyxyyiz（1分）四、（本题10分)将函数2132fzzz以01z为中心的邻域内做洛朗级数展开。解：21113212111fzzzzzzz（3分）10011111111kkkkzzzzz（7分）11kkz11z五、（本题10分)计算实变函数积分22012cosdxIx，01解：设ixze，则有11,cos2dzdxxzziz（2分）则原积分等于121111zzdziizdzzzzz（3分）被积函数有两个极点01,z显然1在单位圆外，0z在单位圆内，该点的留数为（2分）02Reslim11ziifzzzz（2分）所以该定积分等于02222Res211iifzi（1分）六、（本题10分)设有一根均匀的柔软的细弦，当它做微小的横振动时，除受内部张力作用外，还受到阻尼力的作用，设阻尼力与速度成正比，比例系数为k，即单位长度的弦所受阻力,duxtfkvkdt。试写出带有阻尼的弦振动方程。解：建立坐标系，如图所示取弦的平衡位置为x轴，且令端点坐标为0x与xl．设(,)uxt是坐标为x的弦上一点在t时刻的(横向)位移．在弦上隔离出长为dx的一小段(弦元)．弦元的弦长足够小，以至于可以把它看成是质点．分析弦元受力：它在两个端点x及xdx处受到张力的作用．因为弦是完全柔软的，故只受到切向应力张力T的作用，而没有法向应力。因此有：22(sin)(sin)xdxxuuTTkdxdmgdmtt(cos)(cos)0xdxxTT.（4分）小振动近似：xdx与x两点间任一时刻横向位移之差(,)(,)uxdxtuxt与dx相比是一个小量，即1ux:在小振动近似下，sintancos1ux弦的横振动11tan()tan()xxdxuuxx这样，就有()()0()()xdxxxdxxTTTT即＝(3分)于是，2222()()xdxxuuuuuudxTkdxgdxTdxkdxgdxtxxtxt即2222uuukTgttx（3分）其中是弦的线密度(单位长度的质量)．定义：Ta，kb则有22222uuubagttx一般情况下弦振动的加速度远远大于重力加速度g，方程简化为222220uuubattx七、（本题10分)将定解问题22222000,,0,0,0,0,,sin,,,0,0xxlttuxtuxtaxlttxnauxtuxttluxtuxtxlt的边界条件齐次化，设,,,uxtVxtWxt，并假设,Vxt满足齐次边界条件，请写出关于,Vxt的相应的定解问题。（注：不必对边条件齐次化后的定解问题进行求解）解：设,,,uxtVxtWxt，并令0,0,,0,xxlVxtVxt则有0,0,,sin,xxlWxtWxtt设,()()WxtAtxBt，可得()0Bt，sin()tAtl所以有sin,tWxtxl（5分）把sin,tWxtxl带入原有的定解方程中可得关于,Vxt的定解问题为222222000,,sin,0,0,0,,0,,,0,0xxlttVxtVxttaxxlttxlVxtVxtVxtVxtxxltl（5分八、（本题15分)求解定解问题的解2221110,01,02cos4cos4,uuu解：设,uR，并且代入方程可得2'''''RRR上式左右两边要相等只能等于同一常数，设为则有''02'''0RRR（4分）由自然周期边条件2，可得''02解得，本征值2m，本征函数cossinmmCmDm其中0,1,2,3,m（3分）则有22'''0RRmR当0m时，有2'''0RR解得000lnREF由有限性条件0R可得00E所以00RF（2分）当0m时，方程22'''0RRmR的解为mmmmmREF由有限性条件0R可得0mF所以mmmRE（2分）综上所述01,cossinmmmmuaambm其中000aCF，mmmaCE，mmmbDE（1分）由边界条件1cos4cos4u可得01cossincos4cos4mmmaambm解得00,0,1,4maam，0mb，141,4aa（2分）所以解得有4,cos4cos4u（1分）九、（本题15分)在均匀电场0E中放置一个半径为R并接地的导体球，求导体球放入电场达到静电平衡后，球外各点的电势分布，并算出各点的电场强度和导体表面的电荷分布。解：以球心为原点，0E方向为极轴方向取球坐标系，显然此问题关于极轴是对称的，当导体达到静电平衡时，导体是个等势体，导体表面是个等势面，为了考虑问题的方面，选取导体为电势零点，则有,0rRur，根据题意可知在无穷远的处电势为0cosEr球外各点没有电荷，满足拉普拉斯方程2(,)0ur所以有定解问题为：20(,)0(1)(,)0(,)cos(3)rRrurrRururErr(2)（3分）由分离变量法，由于是轴对称问题，可令