统计学公式

统计学公式当连续型变量按离散型变量表示，分组又采用间断组距分组时:开口组的组中值计算公式：缺下限的最小组的组中值＝上限－相邻组组距的一半缺上限的最大组的组中值＝下限＋相邻组组距的一半组中值=本组下限+组距/2=（本组下限+后组下限）/2组中值＝(上限＋下限)/2第三章——组中值的计算第四章﹪计划任务数实际完成数相对数计划完成程度100×=﹪全期计划任务数数累计至本期止实际完成进度计划完成100A.计划任务数表现为绝对数时B.计划任务数表现为相对数时﹪百分数降低提高计划百分数降低提高实际﹪计划为上年的百分数实际为上年的百分数相对数计划完成程度10011100A.简单算术平均数——适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况NXNXXXXNiiN121式中：为算术平均数;为总体单位总数；为第个单位的标志值。iiXNX算术平均数的计算方法B.加权算术平均数——适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况miimiiimmmffXffffXfXfXX11212211式中：为算术平均数;为第组的次数；为组数；为第组的标志值或组中值。XiXifimi算术平均数的计算方法表现为次数、频数、单位数；即公式中的fXfXf表现为频率、比重；即公式中的ffXfXfXff算术平均数的计算方法变量数列中各组标志值出现的次数（频率），反映了各组的标志值对平均数的影响程度。权数绝对权数相对权数A.简单调和平均数——适用于总体资料经过分组整理，且各组标志总量相等的情况XmXXXmXmH111121式中：为调和平均数;为变量值的个数；为第个变量值。iiXmHX调和平均数的计算方法B.加权调和平均数——适用于总体资料经过分组整理，且各组标志总量不相等的情况。式中：为第组的变量值；为第组的标志总量。imiXiimXmXmXmXmmmmXmmmH1221121调和平均数的计算方法A.简单几何平均数式中：为几何平均数;为变量值的个数；为第个变量值。iiXNGXNNNGXXXXX21几何平均数的计算方法B.加权几何平均数——适用于各变量值出现的次数不同的情况式中：为几何平均数;为第组的次数；为组数；为第组的标志值或组中值。GXiXifimimiiimiimfmififfmffGXXXXX1121121几何平均数的计算方法众数的确定下限公式：ooooooooMMMMMMMModffffffLM)()(111上限公式：ooooooooMMMMMMMModffffffUM)()(111注意：不等距数列确定众数时应根据频数密度或频率密度，以消除组距不同的影响。中位数的确定下限公式：上限公式：eeeeMMMMedfSfLM12eeeeMMMMedfSfUM12∑算术平均数和众数、中位数的数量关系右偏(正偏)时，算术平均数受极大值的影响，有：oeMMx左偏(负偏)时，算术平均数受极小值的影响，有：xMMeo对称钟型分布：eoMMx非对称钟型分布：三者通常不等，其差别取决于偏斜的方向和程度。minmaxXXR指所研究的数据中，最大值与最小值之差，又称全距。极差最大变量值或最高组上限或开口组假定上限最小变量值或最低组下限或开口组假定下限【例A】某售货小组5人某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，则元310440750minmaxXXR二、变异指标的计算与应用NXXNXXXXDANiiN11⑴简单平均差——适用于未分组资料是各个数据与其算术平均数的离差绝对值的算术平均数，用A.D.表示平均差计算公式：总体算术平均数总体单位总数第i个单位的变量值imiimiiimmmffXXfffXXfXXDA11111⑵加权平均差——适用于分组资料平均差的计算公式总体算术平均数第i组变量值出现的次数i第i组的变量值或组中值iNXXNii21⑴简单标准差——适用于未分组资料是各个数据与其算术平均数的离差平方的算术平均数的开平方根，用来表示；标准差的平方又叫作方差，用来表示。2标准差计算公式：总体单位总数第i个单位的变量值i总体算术平均数⑵加权标准差——适用于分组资料miiimiiffXX121标准差的计算公式总体算术平均数第i组变量值出现的次数i第i组的变量值或组中值i22XX22NXNX22fXfffX简单标准差加权标准差标准差的简捷计算避免离差平方和在计算过程中的出现目的:变量值平方的平均数变量值平均数的平方平均差系数标准差系数﹪100XDAVDA﹪100XV变异系数指标用来对比不同水平的同类现象，以及不同类现象的差异程度大小和总体平均数代表性的大小:——标准差系数小的总体，其平均数的代表性大；反之，亦然。应用:是非标志的变异指标PNNNNNfXfXP10101均值标准差)1(01)(220102122PPPQPQPQQPPQNNNPNPffXXp25.05.02max时，有当QP是非标志的变异指标PPPQ12方差PQPPPPPXVPP11标准差系数第五章时间数列分析法增减量指报告期水平与基期水平之差设时间数列中各期发展水平为：nnaaaa,,,,11011201,,,nnaaaaaa00201,,,aaaaaan逐期增减量累计增减量二者的关系：⒈011201aaaaaaaannn⒉niaaaaaaiiii,,2,11010平均增减量逐期增减量的序时平均数naanaanniii011)(平均增长量年距增减量本期发展水平与上年同期水平之差，目的是消除季节变动的影响nLLiLaaLii,,1,124；或增长量年距序时平均数的计算方法⒈计算绝对数时间数列的序时平均数⑴由时期数列计算，采用简单算术平均法NaNaaaaNiiN1211a2a1NaNaa⑵由时点数列计算NaNaaaaNiiN121①由连续时点数列计算对于逐日记录的时点数列可视其为连续a1a2a1NaNa※间隔相等时，采用简单算术平均法序时平均数的计算方法⑵由时点数列计算miimiiimmmffaffffafafaa11212211①由连续时点数列计算※间隔不相等时，采用加权算术平均法对于逐日记录的时点数列,每变动一次才登记一次序时平均数的计算方法②由间断时点数列计算每隔一段时间登记一次，常表现为期初或期末值※间隔相等时，采用简单序时平均法222254433221aaaaaaaa4222254433221aaaaaaaa152254321aaaaa1a2a3a4a5a一季度初二季度初三季度初四季度初次年一季度初122121NaaaaaNN一般有：序时平均数的计算方法※间隔不相等时，采用加权序时平均法222433221aaaaaa211221212433221aaaaaa3个月3个月6个月1a2a3a4a一季度初二季度初三季度初次年一季度初12111232121222NNNNffffaafaafaa一般有：⒉计算相对数时间数列的序时平均数基本公式bacbaciii:则若时间数列序时平均数的计算方法发展速度指报告期水平与基期水平的比值，说明现象的变动程度设时间数列中各期发展水平为：nnaaaa,,,,11011201,,,nnaaaaaa环比发展速度定基发展速度00201,,,aaaaaan环比发展速度与定基发展速度的关系：1211201nnnnaaaaaaaa100010iiiiaaaaaaaa0aan),2,1(1niaaii﹪速度发展基期水平基期水平报告期水平速度增长100年距发展速度nLLiLaaLii,,1,124；或展速度年距发增减速度指增减量与基期水平的比值，说明报告期水平较基期水平增减的程度增减1%的绝对量指现象每增减1﹪所代表的实际数量增减1%的绝对量10010010011111nnnnnnnaaaaaaa各环比发展速度的平均数，说明现象每期变动的平均程度平均发展速度平均增减速度说明现象逐期增减的平均程度﹪发展速度平均增长速度平均100计算公式nnnnnnGXXXXRaaX210几何平均法（水平法）平均发展速度的计算总速度环比速度2tbtatytbnaytbyattnyttynb22)(②用最小二乘法求解参数a、b，有直线趋势的测定tbayˆ直线趋势方程：得到由两个关于a、b的二元一次方程组成的方程组：2xbxaxyxbnayxbynxbnyaxxnyxxynb22)(解上述方程组得：第六章统计指数一般编制原则和方法⒈数量指标综合指数的编制：—采用基期的质量指标作为同度量因素0001PQPQIQ⒉质量指标综合指数的编制：—采用报告期的数量指标作为同度量因素1011QPQPIP平均指数的编制0000PQPQkKqQ11111PQkPQKpP——是质量指标综合指数的变形⑵加权调和平均指数——是数量指标综合指数的变形⑴加权算术平均指数第七章抽样调查（二）全极指标和样本指标全及指标：指反映总体数量特征的综合指标。（即参数）参数研究总体中的数量标志总体平均数总体方差X=∑XNX=∑XF∑FΣ（X-X）N2σ=2Σ（X-X）FΣF2σ=2研究总体中的品质标志成数平均数成数方差σ2=P(1-P)P=N1Nσ样本指标:根据样本数据计算的综合指标。（即统计量）研究数量标志样本平均数样本标准差研究品质标志成数平均数成数标准差nxxfxfxppSp1nnp1ffxxS2nxxS2抽样平均误差是一系列抽样指标（平均数或乘数）的标准差样本可能数目XExx2例：总体为2、3、4，从总体中按重复抽样抽出两个单位组成样本。㈠抽样平均数的平均误差前面已经举例说明了直接按照可能抽样平均数求标准差的方法计算，但该方法太繁。可以证明：⒈在重复抽样下抽样平均误差nxσ为总体标准差，n为样本单位数，在总体标准差未知，且样本单位数较大时，可以用样本标准差代替。2.在不重复抽样下抽样平均误差12NnNnxσ为总体标准差，n为样本单位数，N为总体单位数。例：从40、50、70、80中抽取3个组成样本，在不重复抽样下，求抽样平均误差。求总体标准差，直接用计算器统计功能键可以求出：27.514343181.1522NnNnx81.152NXX求抽样平均误差㈡抽样成数的平均误差总体成数是总体中具有某种属性的单位占所有单位的比重，用P表示，不具有某种属性的比重用Q表示；样本中具有某种属性用p表示，不具有某种属性用表示。可以证明：总体平均数=P总体标准差PPP1样本标准差1ppps52(三）抽样极限误差极限误差是指抽样推断中依一定的概率保证下的误差的最大范围。1.抽样平均数的极限误差：xXxxXXxx532.抽样成数的极限误差：PpppPPpp54ppppPx