§7.4.1-3空间曲面和空间曲线

1§7.4空间曲面和空间曲线本节以两种方式来讨论空间曲面：（1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程；（2）已知一个三元方程，研究这方程的图形。7.4.1球面与柱面(一)球面空间中与一定点等距离的点的轨迹叫球面。求球心在点),,(zyxM，半径为R的球面方程。设),,(zyxM为球面上的任一点，则有RMM，即Rzzyyxx222)()()(，化简得：2222)()()(Rzzyyxx。①球面上所有点的坐标都满足方程①，反之，不在球面上的点，其坐标都不满足方程①，因此，方程①是球面的方程。当0zyx时，即球心在原点的球面方程为2222Rzyx。②例1.指出方程05642222zyxzyx表示何种曲面。解：9415964412222zzyyxx，22223)3()2()1(zyx，方程表示以)3,2,1(为球心，3为半径的球面。（二）柱面动直线L沿给定曲线C平行移动所形成的曲面，称为柱面。动直线L称为柱面的母线，定曲线C称为柱面的准线。xyzo2现在来建立以xoy面上的曲线C：.0,0),(zyxF为准线，平行于Lz轴的直线为母线的柱面方程。设),,(zyxM为柱面上任一点，过M作平行于轴的直线z，交xoy面于点)0,,(yxM，由柱面定义可知点上必在准线CM。故有0),(yxF。由于MM与点点有相同的横坐标和纵坐标，故的坐标点M也必满足方程0),(yxF。反之，如果空间一点),,(zyxM满足方程0),(yxF，即0),(yxF，故),,(zyxM且与轴平行的直线z必通过上的点准线C)0,,(yxM，即)0,,(yxM在过)0,,(yxM的母线上，于是),,(zyxM必在柱面上，因此方程0),(yxF表示平行于轴的柱面z。一般地方程0),(yxF表示母线轴的柱面平行于z；方程0),(zyH表示母线轴的柱面平行于x；方程0),(zxG表示母线轴的柱面平行于y。以二次曲线为准线的柱面称为二次柱面。例如：方程222ayx表示圆柱面；方程12222byax表示椭圆柱面；方程12222bxay表示双曲柱面；方程Pyx22表示抛物柱面。yzo222ayx),,(zyxMxyzoLC··)0,,(yxMoxyz12222byax3例2．指出下列方程在空间直角坐标系中分别表示什么图形？（1）116922yx母线平行于z轴的椭圆柱面。（2）xz22母线平行于y轴的抛物柱面。（3）1xy母线平行于z轴的双曲柱面。（4）19422yz母线平行于x轴的双曲柱面。例3．求母线平行于向量kia，准线为2221222222zyxzyx的柱面方程。解：设),,(zyxM是准线上的任一点，则过点M平行于}1,0,1{a的直线必在L柱面上，而的L方程为101zzyyxx，其参数方程为tzzyytxxtzzyytxx代入准线方程，得)(2)(2)(2)(1)()(222222tzytxtzytx0)()()(22tz得，故zt，代入中和)()(，t消去，则得所求柱面方程为1)(22yzx。x12222bxayoxyzPyx22xyzo47.4.2空间曲线（一）空间曲线的一般方程空间曲线L可以看作两个曲面1与2的交线。若曲面1与2的方程分别为0),,(zyxF与0),,(zyxG，则其交线L的方程为0),,(0),,(zyxGzyxF①方程组①称为空间曲线的一般方程。例4．方程组)0(4)2()0(2222222aayaxzazyx表示上半球面和圆柱面的交线L。例5．方程组2222222RzyxRyx表示圆柱面与球面的交线，它是xoy平面上的一个圆。注意：表示空间曲线的方程组不是唯一的。例如02222zRzyx也表示同一个圆，一般说来，用两个方程的组合代替方程之一，仍表示同一曲线。例6．方程组112222xzyx(0,0,0zyx)表示两个圆柱的交线L在第一卦限的部分。oyxzLxyzozOxy5此曲线亦可用方程组0122zyyx(0,0,0zyx)表示。例7．方程组1422zyx表示在平面上的圆1z。方程组0422zyx表示在面上的圆xoy。（二）空间曲线的参数方程空间曲线L上动点M的坐标zyx,,也可以用另一个变量的t函数来表示，即)()()(tzztyytxx②t当取定一个值时，由方程组②就得到曲线上一点的坐标，通过的t变动，可以得到曲线上所有的点，方程组②称为曲线的L参数方程，为t参数。例7．设质点在圆柱面222ryx上以均匀的轴绕角速度z旋转，同时又以均匀的线速度向v平行于轴z的方向上升。运动开始，即0t时，质点在)00,,(rP处，求质点的运动方程。解：取t时间为参数，t经过质点的位置为),,(zyxP，作面xoyPQ，垂足为)0,,(yxQ，则从P到P所经过的角t，上升的高度为vtQP，即质点的运动方程为：sincosvtztrytrx此方程称为螺旋线方程。PQzxy6也可以用其它变量作参数；例如令t，则螺旋线方程为sincosbzryrx，这时vb，而参数为。（三）空间曲线在坐标面上的投影1．空间直线在坐标平面上的投影的概念已知空间曲线L和平面，从L上各点向平面作垂线，垂足所构成的曲线1L称为曲线L在平面上的投影曲线。准线为曲线L而母线垂直于平面的柱面称为空间曲线L关于平面的投影柱面。投影曲线1L就是投影柱面与平面的交线。特殊地，以L曲线为准线，母线平行于z轴的柱面称为空间L曲线关于xoy面的投影柱面，此投影柱面与xoy面的交线称为L曲线在xoy面上的投影曲线。同样可以定义L曲线关于yoz面、xoz面的投影柱面和投影曲线。2．投影曲线方程的求法设空间L曲线的一般方程为0),,(0),,(zyxGzyxF，消去z，得0),(1yx，它表示母线平行于z轴的柱面方程。因为柱面方程是由zL消去曲线得到的，所以L曲线上点的前两个坐标yx,必满足该方程，因此柱面过L曲线，故方程0),(1yx所表示的柱面就是L曲线关于xoy面的投影柱面。而方程0z0),(1yx就是L曲线在xoy面上的投影曲线的方程。L1L7同样，从L曲线的方程中分别消去yx与，得到柱面方程0),(2zy与0),(3zx，则00),(2xzy与00),(3yzx分别是L曲线在yoz面和xoz面上的投影曲线的方程。例8．求球面3222zyx与旋转抛物面zyx222的交线L在xoy面上的投影曲线方程。解：交线L为)2(2)1(322222zyxzyx(1)－(2)得03z2z2，0)1)(3(zz，3z（舍去），1z。交线L也可表示为：13222zzyx，消去z，得交线L关于xoy面的投影柱面方程：222yx。∴交线L在xoy面上的投影曲线方程是0222zyx，它在xoy面上是以（0，0，0）为圆心，2为半径的圆。若在曲线L的方程中，出现有一个缺z项的方程时，则此方程所表示的曲面正巧是经过该曲线且母线平行于z轴的柱面，它就是曲线L关于xoy平面的投影柱面，这样就可省略消去z的过程。例9．求L曲线：86422222yyxzyxxoy在、yoz面上的投影曲线的方程。解：面上在曲线xoyL的投影曲线方程为0822zyyx。xL的方程中消去从曲线，面的关于得曲线yozL投影柱面方程：2z+y8=64，xoyz8故面上在曲线yozL的投影曲线是一段抛物线：)80(06482yxyz。7.4.3旋转曲面的方程（一）旋转曲面的定义以一条平面曲线绕同平面上的一条直线旋转所形成的曲面称为旋转曲面，这条定直线称为旋转曲面的轴。（二）旋转曲面的方程设在yoz平面上L曲线的方程为00),(xzyF，将轴绕曲线zL旋转一周，得到一个旋转曲面。设),,(zyxM为旋转曲面上的任意一点，过点M作垂直于z轴的平面，交z轴于点),0,0(zP，交曲线L于点),,0(zyM。由于点M是由点轴绕zM旋转而得，故有zzPMPM,，（1）∵22yxPM，yPM，∴22yxy，（2）又∵M在曲线L上，∴0),(zyF。将（1），（2）代入0),(zyF，即得旋转曲面方程：0)z,(22yxF。一般地，若在曲线L的方程00),(xzyF中，z保持不变，而将22yxy换成，就得到曲线L绕z轴旋转而成的旋转曲面方程：0),(22zyxF。同理，轴绕曲线yL旋转而成的旋转曲面方程为：0),(22zxyF。yMOMPzxoL9例10．求直线0)0(xaayz轴绕z旋转一周所成的旋转曲面的方程。解：∵yoz坐标面上的直线)0(aayz绕z轴旋转，∴将z保持不变，22yxy换成，则得)(22yxaz，即所求旋转曲面方程为)(2222yxaz，该方程表示的曲面称为圆锥面，点o称为圆锥的顶点。例11．求抛物线0)0(22xppzy，绕z轴旋转所得的旋转曲面的方程。解：在方程pzy22中，将2y换成22yx，而z保持不变，得pzyx222，即为所求旋转曲面的方程。该曲面称为旋转抛物面。例12．求椭圆.012222xbzay绕z轴旋转一周所成的旋转曲面的方程。解：在方程12222bzay中，将2y换成22yx，而z保持不变，则122222bzayx即为所求旋转曲面的方程。该曲面称为旋转椭球面。oyzxyozxbozbyaax10例13．求双曲线012222ybzax，轴绕z旋转所得的曲面方程。解：绕z轴所成的旋转曲面称为旋转单叶双曲面，其方程为122222bzayx。绕x轴所成的旋转曲面称为旋转双叶双曲面，其方程为122222bzyax。oyzxyozx