一元一次不等式知识点及典型例题

1/14宿州市第二初级中学陆连荣一元一次不等式考点一、不等式的概念（3分）1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。5、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式基本性质（3~5分）1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；考点三、一元一次不等式（6--8分）1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1考点四、一元一次不等式组（8分）1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。6、不等式与不等式组不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。7、不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。③求不等式解集的过程叫做解不等式。知识点与典型基础例题一不等式的概念：例判断下列各式是否是一元一次不等式？-x≥52x-y＜025432xxx352x二不等式的解：三不等式的解集：例判断下列说法是否正确，为什么？X=2是不等式x+3＜2的解。X=2是不等式3x＜7的解。不等式3x＜7的解是x＜2。X=3是不等式3x≥9的解四一元一次不等式：例判断下列各式是否是一元一次不等式－ｘ＜５２ｘ－ｙ＜０232xx52x≥３ｘ例五．不等式的基本性质问题例1指出下列各题中不等式的变形依据1）由3a2得a322)由3+70得a-73）由-5a1得a-514)由4a3a+1得a1例2用”或”填空，并说明理由如果ab则1）a-2()b-22）-2a-2b3)-3a-5()-3b-5例3把下列不等式变成xaxa的形式。X+475x1+4x-54x-12x+54x-2例4已知实数a/b/c/在数轴上的对应点如图，则下列式子正确的是（）AcbabBacabCcbabDc+ba+b2/14例５当０＜ｘ＜１时ｘ２，ｘ，x1，之间的大小关系是。例将下列不等式的解集在数轴上表示出来。X≥2x＜132x＜3的非负整数解-121312x六在数轴上表示不等式的解集：例解下列不等式并把解集在数轴上表示出来2x+3＜3x+2-3x+2≤5-x31≠2323125xx8-2(x+2)＜4x-23-8)1(3412xx５－ｘ＋3x＜１－31232xx题型一：求不等式的特殊解例１）求x+3＜6的所有正整数解２）求10-4（x-3）≥2（x-1）的非负整数解，并在数轴上表示出来。３）求不等式0123x的非负整数解。４）设不等式２ｘ－ａ≤０只有３个正整数解，求正整数题型二：不等式与方程的综和题例关于Ｘ的不等式２ｘ－ａ≤－１的解集如图，求ａ的取值范围。不等式组{1591xxmx的解集是ｘ＞２，则ｍ的取值范围是？若关于Ｘ、Ｙ的二元一次方程组{31350yxpyx的解是正整数，求整数Ｐ的值。已知关于ｘ的不等式组{baxbax122的解集为３≤ｘ＜５，求ba的值。题型三确定方程或不等式中的字母取值范围例ｋ为何值时方程５ｘ－６＝３（ｘ＋ｋ）的值是非正数已知关于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围已知在不等式３ｘ－ａ≤０的正整数解是１，２，３，求ａ的取值范围。若方程组{kyxyx34532的解中xy，求K的范围。如果关于x的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数，求m的范围。若|2a+3|＞2a+3,求a的范围。若（a+1）x＞a+1的解是x＜1,求a的范围。若{148xxax的解集为＞３，求ａ的取值范围。已知关于x的方程ｘ－3232xmx的解是非负数，ｍ是正整数，求ｍ的值。如果{0908axbx的整数解为１、２、３，求整数ａ、ｂ的值。题型五求最小值问题例x取什么值时，代数式645x的值不小于3187x的值，并求出X的最小值。题型六不等式解法的变式应用例根据下列数量关系，列不等式并求解。X的31与x的2倍的和是非负数。C与4的和的30﹪不大于-2。X除以2的商加上2，至多为5。A与b两数和的平方不可能大于3。例ｘ取何值时，２（ｘ－２）－（ｘ－３）－６的值是非负数？例ｘ取哪些非负整数时，523x的值不小于32x与１的差。题型七解不定方程例求方程４ｘ＋ｙ－２０＝０的正整数解。已知{axax223无解，求ａ的取值范围。题型八比较两个代数式值的大小例已知Ａ＝ａ＋２，Ｂ＝ａ２－ａ＋５，Ｃ＝ａ２＋５ａ－１９，求Ｂ与Ａ，Ｃ与Ａ的大小关系题型九不等式组解的分类讨论例解关于ｘ的不等式组{axaxxaxa38..44)1(2..2)2(8、常见题型一、选择题在平面直角坐标系中，若点P(m－3，m＋1)在第二象限，则m的取值范围为()A．－1＜m＜3B．m＞3C．m＜－１D．m＞－１答案：A已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．答案：D3/14四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图3所示，则他们的体重大小关系是（D）A、B、C、D、把不等式组的解集表示在数轴上正确的是（）答案：C不等式的解集是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：C若不等式组有实数解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．答案：A若，则的大小关系为（）A．B．C．D．不能确定答案：A不等式—x—5≤0的解集在数轴上表示正确的是（）答案：B不等式＜的正整数解有()（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个答案：C把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（）A．B．C．D．答案：B不等式组，的解集是（）A．B．C．D．无解答案：C不等式组的解集在数轴上可表示为（）ABCD答案：D实数在数轴上对应的点如图所示，则，，的大小关系正确的是（）A．B．C．D．答案：D如图，a、b、c分别表示苹果、梨、桃子的质量．同类水果质量相等，则下列关系正确的是（）4/14A．a＞c＞bB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．c＞a＞b答案：C不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）答案：C把不等式组的解集表示在数轴上，正确的为图3中的（）A．B．C．D．答案：B用表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（）答案：A不等式组的解集在数轴上可表示为（）答案：A在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（）答案：A二、填空题已知3x+4≤6+2(x-2),则的最小值等于________.答案：1如图，已知函数和的图象交点为，则不等式的解集为．答案：5/14不等式组的解集为．答案：不等式组的整数解的个数为．答案：46.已知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是．答案：9.不等式组的解集是．答案：10．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为．答案：-113.已知不等式组的解集为－1＜x＜2，则(m＋n)2008＝__________．答案：1三、简答题解不等式组解：解不等式（1），得．解不等式（2），得．原不等式组的解是．解不等式组并写出该不等式组的最大整数解.解：解不等式x+1＞0,得x＞-1解不等式x≤，得x≤2∴不等式得解集为-1＜x≤2∴该不等式组的最大整数解是2若不等式组的整数解是关于x的方程的根，求a的值。解：解不等式得，则整数解x=-2代入方程得a=4。解方程。由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2的距离之和为5的点对应的x的值。在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或－2的左边，若x对应点在1的右边，由图（17）可以看出x＝2；同理，若x对应点在－2的左边，可得x＝－3，故原方程的解是x=2或x=－3参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程的解为（2）解不等式≥9；（3）若≤a对任意的x都成立，求a的取值范围解：（1）1或．（2）和的距离为7，因此，满足不等式的解对应的点3与的两侧．当在3的右边时，如图（2），易知．6/14当在的左边时，如图（2），易知．原不等式的解为或（3）原问题转化为：大于或等于最大值．当时，，当，随的增大而减小，当时，，即的最大值为7．故．解不等式组并把解集表示在下面的数轴上.解：的解集是：的解集是：所以原不等式的解集是：………………………………………（3分）解集表示如图…………………………………………………………………（5分）解不等式组解：由不等式（1）得：5由不等式（2）得：≥3所以：5＞x≥3解不等式组：并判断是否满足该不等式组．解：原不等式组的解集是：，满足该不等式组．解不等式3x-27,将解集在数轴上表示出来,并写出它的正整数解．解：3x-273x7+23x9x3解不等式组，并写出它的所有整数解.解：解不等式组并求出所有整数解的和．解：解不等式①，得，解不等式②，得．原不等式组的解集是．则原不等式组的整数解是．所有整数解的和是：不等式复习1一：知识点回顾7/141、一元一次不等式（组）的定义：2、一元一次不等式（组）的解集、解法：3、求不等式组的解集的方法：若a＜b，当时，x＞b；（同大取大）当时，x＜a；（同小取小）当时，a＜x＜b；（大小小大取中间）当时无解，（大大小小无解）二：小试牛刀1、不等式8-3x≥0的最大整数解是_______________.2、若1)1(axa的解集是1x，则a必须满足_______3、若不等式组axx,4的解集是ax4，则a的取值范围是________．4、若10a，则2a、a1、a之间的大小关系是________．5、如果一元一次方程452xkx的解是正数，那么k的取值范围是________．6、如图，直线ykxb经过点(12)A，和点(20)B，，直线2yx过点A，则不等式20xkxb的解集为（）A．2xB．21xC．20xD．10x7、不等式组的解集为x＜2，试求k的取值范围______8、由x＞y得ax≤ay的条件是（）A.a＞0B.a＜0C.a≥0D.a≤09、由a＞b得am2＞bm2的条件是（）A.m＞0B.m＜0C.m≠0D.m是任意有理数三：例题讲解1、已知关于x的不等式2x+m-5的解集如图所示，则m的值为（）A,1B,0C,-1D,32、不等式2x+1a有3个正整数解，则a的取值范围是？3、关于x的不等式组010xax的整数解共有3个，则