初中数学翻折问题

矩形构造法之翻折问题万伟华，南昌市第二十八中学教师，著有个人作品《点线式秒杀中考数学压轴题》翻折问题作为几何知识的重要组成部分，翻折问题历来是全国中考命题的热点，可以预见，此类问题仍会在2018年的考试中大量呈现。但绝大多数学生对此类问题毫无头绪，丢分情况十分严重，为此笔者进行了一些有益的尝试，试图为学生打开破解之道。限于篇幅，本文仅探究直角三角形的翻折问题。首先，我们必须引进一个非常重要的数学工具——“纵横比”所谓“纵横比”就是指依附直线上任意两点，构建直角三角形，使得横直角边平行x轴，纵直角边平行y轴。“纵直角边”与“横直角边”的长度之比。如图：已知A(x1,y1)，B(x2,y2)在直线AB上，则直线AB的“纵横比”为：ACBC＝1212yyxx在此基础上，我们继续探究，不难得出一个精彩的结论：121212(,),,,,,ACxBDxOAOBAllllACODllOCBDCDACODACOODBOCCOCBDODBD若不为坐标轴则两直线的纵横比互为倒数。如图：已知，，求证：轴轴垂足分别为证明：作易证：△∽△“矩形构造法”之对称：一般在涉及某点关于直线对称点求解的问题，可通过构建某点关于直线的“纵横比”，得到横平竖直的直角三角形后进行翻折对称，再构造翻折后直角三角形的外接矩形，得到相似，从而求解。其解题的核心思想是“斜转直”。(将原题中倾斜的直角边之比，通过构造直角三角形的外接矩形，得到相似，从而转化成横平竖直的直角边之比,又称为“纵横比”)此处所列举的例题希望大家认真领会，并通过这些例题得出解决对称点问题的一般通法。以下，我们一起来领略“纵横比”的神奇！例题1：平面直角坐标系中，直线y＝3x＋3，与x轴交于点A，与y轴交于点B，点O关于直线y＝3x＋3对称点为O′，求O′坐标.解题思路剖析：粗看此题，似乎感觉无从下手。倘若我们换个思路，引进纵横比的解题思想呢？OB、OA、AB可以看成一个天然的纵横比三角形，我们将△AOB沿AB进行翻折，得到RT△AO′B，接下来，我们应该如何处理“倾斜”的两条直角边O′A，O′B呢？根据此前的结论，若不为坐标轴的两直线垂直，则其纵横比互为倒数。由此，我们容易联想构造O′A，O′B的纵横比，构造RT△AO′B的外接矩形.以下我们看看具体的解题过程.解：将△AOB沿AB翻折，得△AO′B，构造△AO′B的外接矩形OBCD.易证：△ADO′∽△O′CB，设AD＝a，O′D＝b，∴O′C＝3a，BC＝3ba＋1＝3bb＋3a＝3∴a＝45，b＝35；∴O′（－95，35）解题反思：我们在处理一点关于倾斜的直线对称问题过程中，可通过翻折的手段，再根据纵横比思想，构造其外接矩形加以处理。那么，此方法是不是解决此类问题的基本通法呢？我们不妨再看下一个问题例题2：平面直角坐标系中，直线y＝12x＋2，点A（4,1），点A关于直线y＝12x＋2对称点为A′，求A′坐标，并求出点A到BC的距离.解题思路剖析：有了前面一题作为引导，我们很自然想到构造以点A为直角点的纵横比△BAC，而后将△BAC沿BC进行翻折，得到RT△BA′C，接下来，构造△BA′C的外接矩形，从而求解.''212,2''.''.(41)36.',2,'226129,3255188292,4'(,)5558'(4)5ACABACxAByyxCBBACBCBACBACACDEADCBEAAABACAEaEBbCDaADbababbaxxbyyAAA解：作∥轴，∥轴,分别交直线于将△沿翻折，得△，构造△的外接矩形易证：△∽△，，设22229125165(1)'552512,2(41)36.2361821865(42)(41)35535ABCABCdAAACxAByyxCBAABACSABACSBCdBC△△方法二：作∥轴，∥轴,分别交直线于，，，由此我们得到一点关于倾斜的直线对称问题的基本通法：其基本解题步骤：第一步，构造已知点的“纵横比”，即依附这点构造横平竖直的直角三角形；第二步，将该直角三角形进行翻折，并构造出翻折直角三角形的外接矩形；第三步，利用一线三直角，得出相似，并根据相似比由小到大巧设各条边，列出二元一次方程组求解。初中阶段，处理点到直线距离的求解方法主要有两种：第一，通过构造该点的纵横比，得出这个直角三角形的面积，再求出斜边，从而求解。第二，通过构造该点的纵横比，而后将该三角形进行翻折，再进行矩形构造法，得出其对称点坐标，最后根据两点间距离公式求解。通过以上探究，我们不难发现，求解任意一点关于直线对称点问题，可通过矩形构造法，同时可以得出一个“副产品”，即点到直线距离，当然用矩形构造法求解点到直线距离稍显麻烦；如果题目仅需要求出点到直线距离，可通过面积方法求解.接下来，我们一起探究圆切点的求解问题，众所周知，经过圆外一点，可以作该圆的两条切线，两切点关于圆心与该点的连线对称，因此求解圆的切点问题与翻折问题实质等同。例1：如图，点C（0，2）点M（4，0），以点M为圆心，2为半径的圆与x轴交于点A、B.CE是⊙M的切线，点E为切点，求E点坐标.解题思路剖析：顺次连接C、E、M，得到RT△CEM，构造RT△CEM的外接矩形，利用相似求解,,904,222,2(,),(4,0),(0,2)222(4)126126,(,)5555MEMCCEMCGHFECEMCGEMHECECFEMEGCGCEMHEHEMEGMHCGEHEmnMCmnnmmnEM解：连接作△的“外接矩形”为易证：△设的切点∽△例2：如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C．求B点坐标．解题思路剖析：与上题相同，我们只要构造RT△OPB的外接矩形，问题将迎刃而解。,,904,222,2(,),(0,0),(4,2)22428686,(,)5555OPOBOBPADEPBOBPEBPBODPAPBOBPEBEPBBDODOBPEBDBEODBmnOPnmmOnmnB解：连接作△的“外接矩形”为易证：△的△设切点∽解题反思：这两道题都是求解圆切点问题，我们仅需要构造倾斜直角三角形的外接矩形，问题很快解决，可见这两个问题实质等同。例3：如图，在平面直角坐标系中，D（4，1），C（2，2），以C为圆心，半径为1作圆，过点D作⊙C的两条切线，切点分别为A，B．求切点的坐标．解题思路剖析：粗看此题，感觉难以思考，我们参考前面两道例题的解答，不难发现它们之间的内在联系，仅需构造RT△CBD的外接矩形，问题将迎刃而解。,,,,1(41)(22)(21)2(,),(2,2),(4,1)28412232214131413,(,)5555(21)CACBCDCBDADEFDADBCADArCACBDCABDBEEDCFBBEDBCFCBFBabCDabababbCCaabBA解：连接作△的“外接矩形”为切线，，，，，易证：△设，综上的∽所述：，切点，△的1413,(,)55B解题反思：以上三道题目都是求解圆切点问题，圆的位置各不相同，神奇的是，我们居然可以采用同样一种方法处理这些问题，可见利用纵横比思想，利用矩形构造法的确是解决此类问题的通法。最后我们来领略一下2016年天津市中考数学压轴题，共同感受矩形构造法的神奇魅力。（2016•天津）已知,抛物线C：y＝x²－2x＋1的顶点为P，与y轴的交点为Q，点F（1，12）.(I)求点P，Q的坐标；（II）将抛物线C向上平移得抛物线C’，点Q平移后的对应点为Q’，且FQ’＝OQ’。①求抛物线C’的解析式；②若点P关于直线Q’F的对称点为K，射线FK与抛物线C’相交于点A，求A点坐标.解题思路剖析：第一问及第二问的第1小问都相对简单，我们探讨最后一问，点P关于直线Q’F的对称点为K，看到这里你是不是感觉非常熟悉呢，我们只需将RT△FPG沿FG进行翻折，得到RT△FKG，再构造RT△FKG的外接矩形，从而求解。22222')21(1,0),(0,1)1()'(0,1),(1,),(0,0)211''1(1)(1)245'245',(1,0)'(0,)43552:(0)((4433QFICyxxPQIImQmFOFQOQmmmCyxxQFxGPQlyxGPGF抛物线：抛物线顶点①设抛物线向上平移个单位抛物线的解析式:②设直线与轴交于点由①知：，，，2221111,)22',3,34,4214734;34,322515037161755(,),(1,):':2252522424457552245525042424FKFPFPGQFFKGFKGGMNPGMKKNFNKaNFbMGaMKbabbaabKFlyxCyxxxxxxxx将△沿直线翻折得△，构造△的外接矩形易证：△∽△设225,3815525(,)8336xFKAxA为射线点横坐标大于不合题意，故舍去由此可见，矩形构造法作为一种威力强大的通法，在众多压轴题中可以大显身手，其解题核心思想就是“改斜归正”。将倾斜的直角边转化为横平竖直的纵横比，利用两直线垂直，纵横比互为倒数的基本结论，可以快速解决此类问题。我们已经领略到矩形构造法的巨大威力，不仅非常实用，而且大大简化了思考过程.作为一种强悍的通法，倘若我们不去深究其内涵，必将带来巨大的遗憾，接下来，我们继续探讨矩形构造法的其他应用.首先我们必须熟练掌握矩形构造法的基本图形.RT△ABC沿AC翻折，得到倾斜的RT△AB′C，构造其外接矩形ABEF.仔细观察这个图形，由两个全等的直角三角形，另外两个三角形存在相似的关系，因此在处理边长问题当中非常方便.以下，我们再通过一些案例深度阐述矩形构造法的应用.例题1：如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A′的位置，若OB＝5，tan∠BOC＝12，则点A′的坐标为__________．解题思路剖析：这是一个典型的直角翻折问题我们的思路很自然的想到构造其外接矩形处理．RT'15tan,2'1'2,'',','2,2123434,'(,)225555OABABEFOBBOCBCOAOAOCABABEFOFAAEBOFaAFbAEaBEbababAab构造△的外接矩形，易求：易证：△∽△设（2016福州）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；（2）连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积；这是2016年福州市中考压轴题的倒数第二题，为突出矩形构造法的通法解答，笔者进行了适度的删减．解题思路剖析：第一问求DM的长，我们仅需抓住已知的核心信息AN平分∠MAB，再根据翻折前后的边角不变量，可得到∠DAM＝∠MAN＝∠NAB＝30°．问题很快解决．第二问，又是一个典型的翻折问题，此时你很自然联想到到构造△ANM的外接矩形，利用相似求解．解：（1）∵翻折∴∠DAM＝∠MAN∵AN平分∠MAB，∴∠MAN＝∠NAB∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB＝30°∵∠N＝90°，AN＝AD＝3∴DM＝MN＝3．(2),,3,313412,3335511122442255ABNANMAFEDAFNNEMEMaENbFNaAFbabaabaSABFN△构造△的外接矩形易证：△∽△设解题反思：通过以上