【人教A版】必修2《2.3.1直线与平面垂直的判定》课后导练含解析

课后导练基础达标1空间四边形的四边相等，那么它的对角线……（）A.相交且垂直B.不相交也不垂直C.相交不垂直D.不相交但垂直解析：如图空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD中点O，连结OA与OC，因为AB=AD=DC=BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥面AOC，故AC⊥BD.答案：D2如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是（）①三角形的两边②梯形的两边③圆的两条直径④正六边形的两条边A.①③B.②C.②④D.①②④解析：由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③平面；对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们不一定垂直.答案：A3如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E、F分别是A在PB、PC上的射影.给出下面结论，其中正确命题的个数是（）①AF⊥PB②EF⊥PB③AF⊥BC④AE⊥平面PBCA.2B.3C.4D.5解析：∵PA⊥⊙O所在平面，∴PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC=A,∴BC⊥面PAC，∴BC⊥AF，又AF⊥PC，PC∩BC=C，∴AF⊥面PBC，∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF=A，∴PB⊥面AEF，∴EF⊥PB.从而可知①②③正确.答案：B4直线a不垂直于平面α，则α内与a垂直的直线有（）A.0条B.1条C.无数条D.α内所有直线解析：①当aα时，显然C正确，②当a∥α时，过a作平面β，使α∩β=a′,则a∥a′,显然在α内与a′垂直的直线也与a垂直，从而也选C.③当a与α斜交时，在α与a的射影垂直的直线也与a垂直，也选C.答案：C5如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的线段有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析：∵PO⊥面ABC，∴PO⊥AC.又∵BO⊥AC，PO∩BO=O,∴AC⊥面PBD，∴AC⊥BP，AC⊥PD，AC⊥BD，AC⊥PO.答案：D6如图所示，直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，当底面四边形ABCD满足________时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）.解析：四边形ABCD的两条对角线互相垂直时，A′C⊥B′D′.∵若AC⊥BD，又AA′⊥平面ABCD，∴BD⊥AA′.又∵AC∩AA′=A,∴BD⊥平面A′AC，∴BD⊥A′C.又∵BD∥B′D′,∴A′C⊥B′D′.答案：AC⊥BD或ABCD为正方形，菱形等.7如图，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=a(a0),PA⊥平面ABCD，在BC上取点Q，使PQ⊥QD，当满足条件的点Q有两个时，a的取值范围是__________.解析：连结AQ，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD，若PQ⊥QD，则必有AQ⊥QD,设BQ=x,则QC=a-x,从而有：AQ2=AB2+BQ2=9+x2,DQ2=9+(a-x)2,由AD2=AQ2+QD2，即a2=18+x2+(a-x)2,∴x2-ax+9=0,由Δ=a2-360得a6.答案：a68如图，平面α∩平面β=CD,EA⊥α于点A，EB⊥β于点B.求证：AB⊥CD.证明：∵EA⊥α,CDα,根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.同样∵EB⊥β,CDβ,则有EB⊥CD.又EA∩EB=E，根据直线和平面垂直判定定理，则有CD⊥平面AEB.又∵AB平面AEB，∴CD⊥AB.综合应用9在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为（）A.相交但不垂直B.垂直但不相交C.不相交也不垂直D.无法判断解析：如图，作AO⊥面BCD，由AB⊥CD，知CD⊥面ABO，∴BO⊥CO，同理DO⊥BC，∴O为△BCD的垂心，∴OC⊥BD，故BD⊥AC.答案：B10在正方体A1B1C1D1-ABCD中，E、F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中点，（如图），则EF与面BB1O的关系是___________解析：∵BB1⊥面ABCD，∴BB1⊥AC，又∵AC⊥BD，∴AC⊥面BB1O，又知E，F分别为AB，CB中点，∴EF∥AC，∴EF⊥面BB1O.答案：垂直11设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出下列命题：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC=90°，H是AC的中点，则PA=PB=PC；④若PA=PB=PC，则H是△ABC的外心.请把正确命题的序号填在横线上_____________解析：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H为垂心（前面已证）.②∵PA⊥PB，PA⊥PC.∴PA⊥面PBC，∴PA⊥BC,又PH⊥面ABC，∴PH⊥BC，∴BC⊥面PAH，∴AH⊥BC.同理BH⊥AC，∴H为垂心.③∵H为AC中点，∠ABC=90°,∴AH=BH=CH,又PH⊥面ABC，由勾股定理知PA=PB=PC,④PA=PB=PC，又PH⊥面ABC，同③可知AH=BH=CH，∴H为外心.答案：①②③④拓展探究12已知：矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交于E，过E作EF⊥SC交SC于F.（1）求证：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.思路分析：本题是证线线垂直问题，可通过证线面垂直来实现.结合图形，欲证AF⊥SC，只需证SC垂直于AF所在平面，即SC⊥平面AEF，由已知，欲证SC⊥平面AEF，只需证AE垂直于SC所在平面，即AE⊥平面SBC，再由已知只需证AE⊥BC，而要证AE⊥BC，只需证BC⊥平面SAB，而这可由已知得证.证明：（1）∵SA⊥平面AC，BC平面AC，∴SA⊥BC.∵矩形ABCD，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE.又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC.又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC.又AD⊥DC,∴DC⊥平面SAD.∴DC⊥AG.又由（1）有SC⊥平面AEF，AGAEF.∴SC⊥AG,∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.