第四章圆与方程自主检测试卷及答案

第四章自主检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．若一圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径分别为()A．(－1,5)，3B．(1，－5)，3C．(－1,5)，3D．(1，－5)，32．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)所表示的曲线关于直线y＝x对称，那么必有()A．D＝EB．D＝FC．E＝FD．D＝E＝F3．以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝100B．(x－1)2＋(y－2)2＝100C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25D．(x－1)2＋(y－2)2＝254．两圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有()A．1条B．2条C．3条D．4条5．已知圆的方程(x＋2)2＋(y－2)＝4，则点P(3,3)()A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外6．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为()A．1B．22C.7D．37．一辆卡车车身宽为2.6m，要经过一个半径为3.6m的半圆形单向隧道，则这辆卡车限高为()A．3.3mB．3.5mC．3.6mD．2.0m8．一辆卡车宽2.7m，要经过一个半径为4.5m的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过()A．1.4mB．3.0mC．3.6mD．4.5m9．直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且只有一个交点，则b的取值范围是()A．|b|＝2B．－1b≤1，且b＝－2C．－1≤b≤1D．非A，B，C结论10．圆(x－1)2＋(y－3)2＝1关于2x＋y＋5＝0对称的圆方程是()A．(x＋7)2＋(y＋1)2＝1B．(x＋7)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋6)2＋(y＋1)2＝1D．(x＋6)2＋(y＋2)2＝1二、填空题(每小题5分，共20分)11．经过原点，圆心在x轴的正半轴上，半径等于5的圆的方程是__________________．12．圆C1：x2＋y2＝4和C2：x2＋y2－6x＋8y－24＝0的位置关系是____________．13．已知两圆C1：x2＋y2＝10，C2：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0.则经过两圆交点的公共弦所在的直线方程为______________．14．过点P(2,3)且与圆x2＋y2＝4相切的直线方程是______________________．三、解答题(共80分)15．(12分)求圆心在直线3x＋4y－1＝0上，且过两圆x2＋y2－x＋y－2＝0与x2＋y2＝5交点的圆的方程．16．(12分)已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线x＋3y＝0相切于点M(3，－3)，求圆C的方程．17．(14分)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．(1)证明：直线l与圆相交；(2)当直线l被圆C截得的弦长最小时，求直线l的方程．18．(14分)已知以C(2,0)为圆心的圆C和两条射线y＝±x(x≥0)都相切，设动直线l与圆C相切，并交两条射线于点A，B，求线段AB的中点M的轨迹方程．19．(14分)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.求：(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．20．(14分)已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0，直线l1被圆所截得的弦的中点为P(5,3)．(1)求直线l1的方程．(2)若直线l2：x＋y＋b＝0与圆C相交，求b的取值范围．(3)是否存在常数b，使得直线l2被圆C所截得的弦的中点落在直线l1上？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．第四章自主检测1．B2.A3.D4.B5.D6.C7.A8.C9.B10.A11．(x－5)2＋y2＝2512.内切13.x＋y－2＝014．x＝2或5x－12y＋26＝015．解：设所求圆的方程为(x2＋y2－x＋y－2)＋m(x2＋y2－5)＝0.整理，得(1＋m)x2＋(1＋m)y2－x＋y－2－5m＝0.圆心坐标为121＋m，－121＋m，代入3x＋4y－1＝0，得m＝－32.故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－2y－11＝0.16．解：设所求圆的圆心是C(a，b)，则过点M，C的直线与x＋3y＝0垂直，b＋3＝3a－3，①a－12＋b2＝1＋|a＋3b|2，②由①②可得，a＝0，b＝－43或a＝4，b＝0，相应半径为6和2.∴圆的方程为x2＋(y＋43)2＝36或(x－4)2＋y2＝4.17．(1)证明：将直线l的方程整理为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0，由x＋y－4＝0，2x＋y－7＝0，得x＝3，y＝1.∴直线l过定点A(3,1)．∵(3－1)2＋(1－2)2＝525，∴点A在圆C的内部．∴直线l与圆相交．(2)解：圆心C(1,2)，当截得的弦长为最小时，l⊥AC，由kAC＝－12，得直线l的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0.18．解：设直线l的方程为y＝kx＋b.A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，由y＝x，y＝kx＋b，得Ab1－k，b1－k(k≠0)．由y＝－x，y＝kx＋b，得B－b1＋k，b1＋k，∴x＝x1＋x22＝kb1－k2，①y＝y1＋y22＝b1－k2.②由①②，得k＝xy，b＝y2－x2y.③∵圆C与y＝±x都相切∴圆C的半径r＝2.∵直线AB：kx－y＋b＝0与圆C相切，∴|2k＋b|k2＋1＝2，即2k2＋4kb＋b2－2＝0.④将③代入④，得(y2－x2)＋4x(y2－x2)－2(y2－x2)＝0.∵y2≠x2，∴y2－x2＋4x－2＝0，即(x－2)2－y2＝2(y≠0)．当l⊥x轴时，线段AB的中点M(2±2，0)也符合上面的方程，其轨迹在∠AOB内．19．解：(1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)，令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，依题意，得b≠0且Δ＝4－4b＞0，解得b＜1，且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b，代入，得E＝－b－1.∴圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圆C必过定点(0,1)和(－2,1)．证明如下：将(0,1)代入圆C的方程，得左边＝02＋12＋2×0－(b＋1)＋b＝0＝右边＝0.∴圆C必过定点(0,1)．同理可证圆C必过定点(－2,1)．20．解：(1)圆C的方程化为标准方程：(x－3)2＋(y－2)2＝9，则其圆心C(3,2)，半径r＝3.若设直线l1的斜率为k，则k＝－1kPC＝－112＝－2.∴直线l1的方程为y－3＝－2(x－5)，即2x＋y－13＝0.(2)∵圆的半径r＝3，∴要使直线l2与圆C相交，则须有|3＋2＋b|2≤3.∴|b＋5|≤32.于是b的取值范围是－32－5＜b＜32－5.(3)设直线l2被圆C截得的弦的中点为M(x0，y0)，则直线l2与CM垂直，于是有y0－2x0－3＝1，整理可得x0－y0－1＝0.又∵点M(x0，y0)在直线l2上，∴x0＋y0＋b＝0.∴由x0－y0－1＝0，x0＋y0＋b＝0，解得x0＝1－b2，y0＝－1＋b2，代入直线l1的方程，得1－b－1＋b2－13＝0，于是b＝－253∈(－32－5，32－5)，故存在满足条件的常数b.综合能力检测1．C2.A3.C4.B5.D6.A7.C8.D9.A10.C11．①③④12．8解析：由圆的对称性知，圆心C－m2，0必在直线x－y＋4＝0上．∴－m2－0＋4＝0，∴m＝8.13．－18或814.14π15．解：设圆心Q为(a，－2a)，根据题意，得圆心到直线x＋y－1＝0的距离d＝|PQ|，即|a－2a－1|2＝a－22＋－2a＋12.解得a＝1.∴圆心Q(1，－2)，半径r＝2.∴所求的圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.16．证明：(1)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1∥CC1且AA1＝CC1，得平行四边形AA1C1C，连接AC，所以AC∥A1C1.又AC在平面A1C1B外，A1C1在平面A1C1B内，所以AC∥平面A1C1B.(2)连接B1D1，则B1D1⊥A1C1，由DD1⊥平面A1B1C1D1，知DD1⊥A1C1，又因为B1D1∩DD1＝D1，所以A1C1⊥平面B1D1D,从而A1C1⊥B1D，同理，得A1B⊥B1D，又因为A1B∩A1C1＝A1，所以B1D⊥平面A1C1B.17．解：设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r0)，∵圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，∴直线AB的方程为4x＋4y＋r2－10＝0.圆心O1到直线AB的距离d＝|r2－14|42，由d2＋22＝6，得r2－14232＝2，∴r2－14＝±8，即r2＝6或22.故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝6或(x－2)2＋(y－1)2＝22.18．(1)解：侧视图同正视图，如图D68.图D68图D69(2)解：该安全标识墩的体积为：V＝VP­EFGH＋VABCD­EFGH＝13×402×60＋402×20＝32000＋32000＝64000(cm3)．(3)证明：如图D69，连接EG，HF及BD，EG与HF相交于点O，连接PO.由正四棱锥的性质可知，PO⊥平面EFGH，∴PO⊥HF.又∵EG⊥HF，EG∩PO＝O，∴HF⊥平面PEG.又∵BD∥HF，∴BD⊥平面PEG.19．(1)证明：在平行四边形ACDE中，∵AE＝2，AC＝4，∠E＝60°，点B为DE中点，∴∠ABE＝60°，∠CBD＝30°，从而∠ABC＝90°，即AB⊥BC.又AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，而AA1∩AB＝A，∴BC⊥平面A1ABB1.∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1ABB1.(2)解：设AA1＝h，则四棱锥A1­AEBC的体积V1＝13SAEBC·AA1＝13×2＋42·3h＝3h.∵A1B1⊥B1B，A1B1⊥B1C1，B1B∩B1C1＝B1，∴A1B1⊥平面BCC1B1.∴四棱锥A1­B1BCC1的体积为V2＝13·11BCCBS·A1B1＝13×23h×2＝433h.∴V1∶V2＝(3h)∶433h＝3∶4.20．解：圆C的方程可化为(x－a)2＋(y－3a)2＝4a，∴圆心为C(a,3a)，半径为r＝2a，(1)若a＝2时，则C(2,6)，r＝22，∵弦AB过圆心时最长，∴|AB|max＝42.(2)若m＝2，则圆心C(a,3a)到直线x－y＋2＝0的距离d＝|－2a＋2|2＝2|a－1|，r＝2a，|AB|＝2r2－d2＝2－2a2＋8a－2＝2－2a－22＋6，∴当a＝2时，|AB|max＝26.(3)圆心C(a,3a)到直线x－y＋m＝0的距离d＝|－2a＋m|2，∵直线l是圆心C的切线，∴d＝r，|m－2a|2＝2a，|m－2a|＝22a.∴m＝2a±22a.∵直线l是圆心C下方的切线，∴m＝2a－22a＝(2a－1)2－1.∵a∈(0,4]，∴当a＝12时，mmin＝－1；当a＝4时，mmax＝8－42.故实数m的取值范围是[－1,8－42]．