广西桂林市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第1页（共21页）2015-2016学年广西桂林市高一（上）期末数学试卷一、选择题（12*5=60’）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，∁UB={4，5，6}，则集合A∩B=（）A．{1，2}B．{5}C．{1，2，3}D．{3，4，6}2．已知平面上两点A（﹣1，1），B（5，9），则|AB|=（）A．10B．20C．30D．403．下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（）A．f（x）=3xB．C．D．4．设f（x）=，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1B．C．D．5．若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（）A．2B．﹣1C．3D．﹣1或26．已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（）A．0或1B．1或C．0或D．7．若定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，则有（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）8．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）第2页（共21页）A．B．C．D．9．空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且AC与BD所成的角为90°，则MN=（）A．10B．6C．8D．510．已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=ax与函数g（x）=﹣logbx的图象可能是（）A．B．C．D．11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64B．72C．80D．11212．已知函数f（x）=log2（a2x﹣4ax+1），且0＜a＜1，则使f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2loga2）D．（2loga2，+∞）第3页（共21页）二、填空题（4*5=20’）.13．计算：=．14．直线3x+4y﹣5=0到直线3x+4y+15=0的距离是．15．在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，，这时二面角B﹣AD﹣C的大小为．16．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF==a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为．三、解答题（共6题，70分，解答应给出文字说明，证明过程及演算步骤.）17．求下列函数的定义域：（1）f（x）=log2（2）f（x）=．18．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点坐标为A（2，4），B（1，﹣2），C（﹣2，3）．（1）求直线BC的方程；第4页（共21页）（2）求边BC上高AD所在的直线方程．19．已知函数f（x）=（1）在下表中画出该函数的草图；（2）求函数y=f（x）的值域、单调增区间及零点．20．某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：（1）AC⊥BC1；第5页（共21页）（2）AC1∥平面B1CD．22．已知定义域为R的函数f（x）=（a，b是常数）是奇函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；（3）若对于任意都有f（kx2）+f（2x﹣1）＞0成立，求实数k的取值范围．第6页（共21页）2015-2016学年广西桂林市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（12*5=60’）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，∁UB={4，5，6}，则集合A∩B=（）A．{1，2}B．{5}C．{1，2，3}D．{3，4，6}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由题意全集U={1，2，3，4，5，6}，CUB={4，5，6}，可以求出集合B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，又∵∁UB={4，5，6}，∴B={1，2，3}，∵A={1，2，5}，∴A∩B={1，2}，故选：A．【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2．已知平面上两点A（﹣1，1），B（5，9），则|AB|=（）A．10B．20C．30D．40【考点】两点间距离公式的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】利用两点间距离公式求解．【解答】解：∵平面上两点A（﹣1，1），B（5，9），∴|AB|==10．故选：A．【点评】本题考查两点间距离公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．第7页（共21页）3．下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（）A．f（x）=3xB．C．D．【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）=3x，f（x）=，f（x）=﹣在（0，+∞）上为增函数，故排除．利用对数函数的性质可得在（0，+∞）上为减函数，满足条件，从而得出结论．【解答】解：由于函数f（x）=3x，f（x）=，f（x）=﹣在（0，+∞）上为增函数，故排除．由对数函数的性质可得在（0，+∞）上为减函数，满足条件，故选B．【点评】本题主要考查函数的单调性，属于基础题．4．设f（x）=，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1B．C．D．【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数，由里及外逐步求解即可．【解答】解：f（x）=，则f（f（﹣2））=f（2﹣2）=f（）=1﹣=1﹣=．故选：C．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．5．若幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（）A．2B．﹣1C．3D．﹣1或2【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【专题】函数的性质及应用．第8页（共21页）【分析】直接利用幂函数的定义与性质求解即可．【解答】解：幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm在（0，+∞）上为增函数，所以m2﹣m﹣1=1，并且m＞0，解得m=2．故选：A．【点评】本题考查幂函数的断断续续以及幂函数的定义的应用，基本知识的考查．6．已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（）A．0或1B．1或C．0或D．【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题；分类讨论．【分析】先检验当a=0时，是否满足两直线平行，当a≠0时，两直线的斜率都存在，由≠，解得a的值．【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=1，x=﹣1，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由≠，解得：a=．综上，a=0或，故选：C．【点评】本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验．7．若定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，则有（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用函数的单调性及奇偶性，即可得出结论．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，第9页（共21页）∴f（3）＜f（2）＜f（1），∵函数是偶函数，∴f（3）＜f（﹣2）＜f（1），故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．8．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由题意设出球的半径，圆M的半径，二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比．【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2=R2+r2，∴R2=r2，∴S球=4πR2，截面圆M的面积为：πr2=πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：．故选A．【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口．9．空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且AC与BD所成的角为90°，则MN=（）A．10B．6C．8D．5【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．第10页（共21页）【分析】取AD中点P，连结MP、NP，则MP∥BD，NP∥AC，从而∠MPN=90°，MP=3，PN=4，由此能求出MN．【解答】解：∵空间四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，M，N分别为AB，CD的中点，并且AC与BD所成的角为90°，∴取AD中点P，连结MP、NP，则MP∥BD，NP∥AC，∴∠MPN=90°，MP=3，PN=4，∴MN==5．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=ax与函数g（x）=﹣logbx的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．第11页（共21页）【专题】常规题型；数形结合．【分析】由条件ab=1化简g（x）的解析式，结合指数函数、对数函数的性质可得正确答案【解答】解：∵ab=1，且a＞0，b＞0∴又所以f（x）与g（x）的底数相同，单调性相同故选B【点评】本题考查指数函数与对数函数的图象，以及对数运算，属中档题11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64B．72C．80D．112【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，上部为三棱锥（以正方体上底面为底面），高为3．分别求体积，再相加即可【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体下部为正方体，边长为4，体积为43=64，上部为三棱锥，以正方体上底面为底面，高为3．体积×，故该几何体的体积是64+8=72．故选B．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体直观图，考查与锥体积公式，本题是一个基础题．第12页（共21页）12．已知函数f（x）=log2（a2x﹣4ax+1），且0＜a＜1，则使f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2loga2）D．（2loga2，+∞）【考点】对数函数的图像与性质．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】首先利用对数函数的单调性得到a2x﹣4ax+1＞1，然后整理，利用指数函数的单调性求x范围．【解答】解：由题意，使f（x）＞0成立即log2（a2x﹣4ax+1）＞0，所以a2x﹣4ax+1＞1，整理得ax＞4，且0＜a＜1，所以x＞loga4=2loga2；故选D．【点评】本题考查了对数函数和指数函数的性质运用；注意底数与1的关系．二、填空题（4*5=20’）.13．计算：=．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】利用对数的运算性质=mlogab即可得到答案．【解答】解：∵+20=+20=+1=．故答案为：．【点评】本题考查对数与指数的运算性质，属于基础题．14．直线3x+4y﹣5=0到直线3x+4y+15=0的距离是4．【考点】两条平行直线间的距离．【专题】计算题；直线与圆．【分析】利用两条