广州二中、珠海一中2015年高一上期末联考数学试卷答案解析

2014-2015学年广东省广州二中、珠海一中联考高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={﹣1，1，2}，N={x∈R|x2﹣5x+4=0}，则M∪N=（）A．ϕB．{1}C．{1，4}D．{﹣1，1，2，4}【考点】：并集及其运算．【专题】：集合．【分析】：根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】：解：N={x∈R|x2﹣5x+4=0}={1，4}，∵M={﹣1，1，2}，∴M∪N={﹣1，1，2，4}，故选：D【点评】：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）函数y=lnx﹣6+2x的零点为x0，则x0∈（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（5，6）【考点】：二分法求方程的近似解．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：可判断函数y=lnx﹣6+2x连续，从而由零点的判定定理求解．【解答】：解：函数y=lnx﹣6+2x连续，且y|x=2=ln2﹣6+4=ln2﹣2＜0，y|x=3=ln3﹣6+6=ln3＞0；故函数y=lnx﹣6+2x的零点在（2，3）之间，故x0∈（2，3）；故选B．【点评】：本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．3．（5分）三个数0.89，90.8，log0.89的大小关系为（）A．log0.89＜0.89＜90.8B．0.89＜90.8＜log0.89C．log0.89＜90.8＜0.89D．0.89＜log0.89＜90.8【考点】：指数函数的图像与性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：依据对数的性质，指数的性质，分别确定log0.89，0.89，90.8数值的大小，然后判定选项．【解答】：解：∵0.89∈（0，1）；90.8＞1；log0.89＜0，所以：log0.89＜0.89＜90.8，故选：A【点评】：本题考查对数值大小的比较，分数指数幂的运算，是基础题．4．（5分）与直线l：3x﹣4y﹣1=0平行且到直线l的距离为2的直线方程是（）A．3x﹣4y﹣11=0或3x﹣4y+9=0B．3x﹣4y﹣11=0C．3x﹣4y+11=0或3x﹣4y﹣9=0D．3x﹣4y+9=0【考点】：两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】：计算题；直线与圆．【分析】：根据平行线的直线系方程设所求的直线方程为3x﹣4y+c=0，再由题意和两平行线间的距离公式列方程，求出c的值，代入所设的方程即可．【解答】：解：由题意设所求的直线方程为3x﹣4y+c=0，根据与直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2得=2，解得c=﹣11，或c=9，故所求的直线方程为3x﹣4y﹣11=0或3x﹣4y+9=0．故选：A．【点评】：本题考查两直线平行的性质，两平行线间的距离公式，设出所求的直线方程为3x﹣4y+c=0，是解题的突破口．5．已知sinx=﹣，且x在第三象限，则tan2x=（）A．B．C．D．【考点】：二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用．【专题】：计算题；三角函数的求值．【分析】：由已知和同角三角函数关系式可求cosx，tanx，从而由二倍角的正切函数公式可求tan2x的值．【解答】：解：∵sinx=﹣，且x在第三象限，∴cosx=﹣=﹣，∴tanx==，∴tan2x==﹣，故选：A．【点评】：本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的正切函数公式的应用，属于基础题．6．（5分）半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（）A．B．C．D．【考点】：球的体积和表面积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：根据半径为R的球内接一个正方体，根据正方体的对角线过原点，可以求出正方体的棱长，从而根据体积公式求解【解答】：解：∵半径为R的球内接一个正方体，设正方体棱长为a，正方体的对角线过球心，可得正方体对角线长为：a=2R，可得a=，∴正方体的体积为a3=（）3=，故选：D．【点评】：此题主要考查圆的性质和正方体的体积公式，考查学生的计算能力，是一道基础题，难度不大．7．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=（2，4），=（1，3），则=（）A．（2，4）B．（﹣2，﹣4）C．（3，5）D．（﹣3，﹣5）【考点】：平面向量的坐标运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据题意，画出图形，结合图形以及平行四边形中的向量相等关系，求出．【解答】：解：根据题意，画出图形，如图所示；∵平行四边形ABCD中，=（2，4），=（1，3），∴=﹣=（﹣1，﹣1），∴=+=+=﹣=（﹣3，﹣5）．故选：D．【点评】：本题考查了平面向量的坐标表示以及平行四边形法则，是基础题目．8．（5分）（2013•广州二模）直线y=kx+1与圆x2+y2﹣2y=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．取决于k的值【考点】：直线与圆的位置关系．【专题】：直线与圆．【分析】：根据圆的方程，先求出圆的圆心和半径，求出圆心到直线y=kx+1的距离，再和半径作比较，可得直线与圆的位置关系．【解答】：解：圆x2+y2﹣2y=0即x2+（y﹣1）2=1，表示以（0，1）为圆心，半径等于1的圆．圆心到直线y=kx+1的距离为=0，故圆心（0，1）在直线上，故直线和圆相交，故选A．【点评】：本题主要考查求圆的标准方程的特征，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．9．已知向量，满足，||=1，|=2，则|2﹣|=（）A．B．C．8D．12【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据向量的数量积运算，以及向量的模的方法，即遇模则平方，问题得以解决【解答】：解：∵，∴=0∵||=1，|=2，∴|2﹣|2=4||2+||2﹣4=4+4﹣0=8，∴|2﹣|=2，故选：A【点评】：本题考查了向量的数量积运算和向量的模的求法，属于基础题10．（5分）对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊂α，n∥α，则m∥nD．若m、n与α所成的角相等，则m∥n【考点】：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：阅读型；空间位置关系与距离．【分析】：由线面的位置关系，即可判断A；由线面平行的定义和性质，即可判断B；由线面平行的定义和性质，再由m，n共面，即可判断C；由线面角的定义和线线的位置关系，即可判断D．【解答】：解：由于直线m、n共面，对于A．若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n∥α，故A错；对于B．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行，故B错；对于C．若m⊂α，n∥α，由于m、n共面，则m∥n，故C对；对于D．若m、n与α所成的角相等，则m，n相交或平行，故D错．故选C．【点评】：本题考查空间直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题和易错题．11．求值：tan42°+tan78°﹣tan42°•tan78°=（）A．B．C．D．【考点】：两角和与差的正切函数．【专题】：计算题；三角函数的求值．【分析】：观察发现：78°+42°=120°，故利用两角和的正切函数公式表示出tan（78°+42°），利用特殊角的三角函数值化简，变形后即可得到所求式子的值【解答】：解：由tan120°=tan（78°+42°）==﹣，得到tan78°+tan42°=﹣（1﹣tan78°tan42°），则tan78°+tan42°﹣tan18°•tan42°=﹣．故选：C．【点评】：此题考查了两角和与差得正切函数公式，以及特殊角的三角函数值．观察所求式子中的角度的和为120°，联想到利用120°角的正切函数公式是解本题的关键，属于基础题．12．（5分）如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A．πB．πC．πD．π【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：根据几何体的三视图，得出该几何体的结构特征，从而求出它的体积．【解答】：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为半圆，母线长为2的半圆锥体；且底面半圆的半径为1，∴该半圆锥个高为2×=，它的体积为V=×π•12×=π．故选：C．【点评】：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目．13．已知cosα=，cos（α+β）=﹣，且α、β∈（0，），则cos（α﹣β）=（）A．B．C．D．【考点】：两角和与差的余弦函数．【专题】：计算题；三角函数的求值．【分析】：根据α的范围，求出2α的范围，由cosα的值，利用二倍角的余弦函数公式求出cos2α的值，然后再利用同角三角函数间的基本关系求出sin2α的值，又根据α和β的范围，求出α+β的范围，由cos（α+β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α+β）的值，然后据α﹣β=2α﹣（α+β），由两角差的余弦函数公式把所求的式子化简后，将各自的值代入即可求解．【解答】：解：由2α∈（0，π），及cosα=，得到cos2α=2cos2α﹣1=﹣，且sin2α==，由α+β∈（0，π），及cos（α+β）=﹣，得到sin（α+β）==，则cos（α﹣β）=cos[2α﹣（α+β）]=cos2αcos（α+β）+sin2αsin（α+β）=﹣×（﹣）+×=．故选：C．【点评】：此题考查学生灵活运用两角和与差的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，解题的关键是角度的灵活变换即α﹣β=2α﹣（α+β），属于中档题．14．（5分）f（x）为R上的偶函数，若对任意的x1、x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），都有＞0，则（）A．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）C．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）【考点】：函数奇偶性的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：先根据对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），都有（x2﹣x1）•[f（x2）﹣f（x1）]＞0，可得函数f（x）在（﹣∞，0]（x1≠x2）单调递增．进而可推断f（x）在[0，+∞）上单调递减，进而可判断出f（3），f（﹣2）和f（1）的大小．【解答】：解：∵对任意的x1、x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），都有＞0，故f（x）在x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2）单调递增．又∵f（x）是偶函数，∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，且满足n∈N*时，f（﹣2）=f（2），由3＞2＞1＞0，得f（3）＜f（﹣2）＜f（1），故选：C．【点评】：本题主要考查了函数奇偶性的应用和函数的单调性的应用．属基础题．15．（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么y=x2，值域为{1，9}的“同族函数”共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个【考点】：函数的值域．【专题】：计算题；函数的性质及应用；集合．【分析】：由题意知定义域中的数有﹣1，1，﹣3，3中选取；从而讨论求解．【解答】：解：y=x2，值域为{1，9}的“同族函数”即定义域不同，定义域中的数有﹣1，1，﹣3，3中选取；定义域中含有两个元素的有2×2=4个；定义域中含有三个元素的有4个，定义域中含有四个元素的有1个，总共有9种，故选C．【点评】：本题考查了学生对新定义的接受能力及集合的应用，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分20分．16．（5分）已知a＜0，直线l1：2x+ay=2，l2：a2x+2y=1，若l1⊥l2，则a=﹣1．【考点】：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】：直线与圆．【分析】：利用相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出．【解答】：解：两条直线的斜率分别为：﹣，﹣．∵l1⊥l2，∴=﹣1，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】：本题考查了相互垂直的直线与斜率之间的关系，属于基础题．17．已知a＜0，向量=（2，a﹣3），=（a+2，a﹣1），若∥，则a=﹣1．【考点】：平面向量共线（平行