湖北省鄂州二中2012届高三数学十一月阶段性检测题(文科)

湖北省鄂州二中2012届高三数学十一月份阶段性检测题(文科)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M＝{x|x2＜4}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，则集合M∩N等于(C)A．{x|x＜－2}B．{x|x＞3}C．{x|－1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}2.已知a、,Rb那么“122ba”是“baab1”的（B）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．若关于x的不等式2log(17)xxa恒成立，则a的取值范围是（A）A．3aB．3aC．3aD．3a4．已知a，b，c成等比数列，a，m，b和b，n，c分别成两个等差数列，则am＋cn等于(C)A．4B．3C．2D．15．已知5,3,415,0,,baSbabCAaCBABCABC中，，则ba与的夹角为（D）A.65B.6C.6或65D.656．若x是三角形的最小内角，则函数sincossincosyxxxx的最大值是（D）A．1B．2C．122D．1227．已知函数)(xf是),(上的偶函数，若对于0x，都有)()2(xfxf，且当2,0x时，)2010()2009(),1(log)(2ffxxf则的值为（C）A．-2B．-1C．1D．28．已知向量a，b满足|a|=3|b|≠0，且关于x的函数f(x)=21x3+21|a|x2+a·bx在R上单调递增，则a，b的夹角的取值范围是（B）A．[0,2)B．[0,3]C．(3，2]D．(3，32]9、定义：在数列{an}中，若满足an＋2an＋1－an＋1an＝d(n∈N*，d为常数)，我们称{an}为“比等差数列”．已知在“比等差数列”{an}中，a1＝a2＝1，a3＝2，则a2009a2006的个位数字是(C)A．3B．4C．6D．810、某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（A）A、5km处B、4km处C、3km处D、2km处二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.将答案填在题中横线上)11、在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，a＝2(3＋1)，那么△ABC的面积为__6＋23______12．设函数()fxxxa，若对于任意21,xx21),,3[xx，不等式0)()(2121xxxfxf恒成立，则实数a的取值范围是3a．13．已知函数f(x)＝ax2－1的图像在点A(1，f(1))处的切线l与直线8x－y＋2＝0平行，若数列1fn的前n项和为Sn，则S2011的值为2011402314．已知22224xyz则22xyz的最小值为2715.已知等差数列na中，若,mnaaab则有mnambnamn，则在等比数列nb中，若,mnbpbq则会有类似的结论为：1()mmnmnnpbq______.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．（本题满分12分）设函数()3fxxax,其中0a。（Ⅰ）当1a时，求不等式()32fxx的解集；（Ⅱ）若不等式()0fx的解集为|1xx，求a的值。16．（Ⅰ）当1a时，()32fxx可化为|1|2x。由此可得3x或1x。故不等式()32fxx的解集为{|3xx或1}x。（Ⅱ）由()0fx得：30xax此不等式化为不等式组：30xaxax或30xaaxx。即4xaax或2xaaa因为0a，所以不等式组的解集为|2axx，由题设可得2a=1，故2a。17．（本题满分12分12分）设a，b∈R+，a+b=1．（1）证明：ab+≥4+=4；（2）探索、猜想，将结果填在括号内；a2b2+≥（_________）；a3b3+≥（_________）；（3）由（1）（2）你能归纳出更一般的结论吗？请证明你得出的结论．17、解：（2）1116,641664nnabm1m1,1mmm证明：令由（）知，，令，由（）知当时，函数有最小值nnnnnnnnnnnnn(3)ababy=ab=m+ab11+441(0())411+(0())41()418．（本题满分12分）在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值；(2)求sin2A－π4的值．18.解析：(1)在△ABC中，根据正弦定理，ABsinC＝BCsinA.于是AB＝sinCsinABC＝2BC＝25.(2)在△ABC中，根据余弦定理，得cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝255.于是sinA＝1－cos2A＝55.从而sin2A＝2sinA·cosA＝45，cos2A＝cos2A－sin2A＝35.所以sin2A－π4＝sin2Acosπ4－cos2Asinπ4＝210.19.（本题满分12分）在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N)．(1)试判断数列{1an}是否为等差数列；(2)设{bn}满足bn＝1an，求数列{bn}的前n项为Sn；(3)若λan＋1an＋1≥λ，对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．解：(1)∵a1≠0，∴an≠0，∴由已知可得1an－1an－1＝3(n≥2)，故数列{1an}是等差数列．(2)由(1)的结论可得bn＝1＋(n－1)×3，所以bn＝3n－2，∴Sn＝n(1＋3n－2)2＝n(3n－1)2.(3)将an＝1bn＝13n－2代入λan＋1an＋1≥λ并整理得λ(1－13n－2)≤3n＋1，∴λ≤(3n＋1)(3n－2)3n－3，原命题等价于该式对任意n≥2的整数恒成立．设Cn＝(3n＋1)(3n－2)3n－3，则Cn＋1－Cn＝(3n＋1)(3n－4)3n(n－1)0，故Cn＋1Cn，∴Cn的最小值为C2＝283，∴λ的取值范围是(－∞，283]．20．（本题满分13分）为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元(m≥0)满足x＝3－km＋1(k为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2010年该产品的利润y万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数；(2)该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？20.解：(1)由题意可知，当m＝0时，x＝1(万件)，∴1＝3－k，∴k＝2，∴x＝3－2m＋1，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2010年的利润y＝x·－(8＋16x)－m＝－[16m＋1＋(m＋1)]＋29(元)(m≥0)．(2)∵m≥0，∴16m＋1＋(m＋1)≥216＝8，∴y≤29－8＝21，当16m＋1＝m＋1，即m＝3，ymax＝21.∴该企业2010年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大．21．（本题满分14分）已知函数)0()(,ln)(axaxgxxf，设)()()(xgxfxF。（Ⅰ）求F（x）的单调区间；（Ⅱ）若以3,0)((xxFy）图象上任意一点),(00yxP为切点的切线的斜率21k恒成立，求实数a的最小值。（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数1)12(2mxagy的图象与)1(2xfy的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由。21.解:(Ⅰ)F)0(ln)()()(xxaxxgxfx)0(1)('22xxaxxaxxF…2分）上单调递增。在（由,)(),,(0)(,0axFaxxFa由）上单调递减在（axFaxxF,0)(),,0(0)(。）），单调递增区间为（的单调递减区间为（,,0)(aaxF（Ⅱ）恒成立)30(21)(),30()(020002xxaxxFkxxaxxFmax020)21(xxa当212110200取得最大值时，xxx21,21nmnaa（Ⅲ）若21211)12(22mxmxagy的图象与)1ln()1(22xxfy的图象恰有四个不同交点，即)1ln(212122xmx有四个不同的根，亦即2121)1ln(22xxm有四个不同的根。令2121)1ln()(22xxxG，则1)1)(1(1212)(2232xxxxxxxxxxxxG。当x变化时)().(xGxG的变化情况如下表：x），（1(-1,0)(0,1)(1,))(xG的符号+-+-)(xG的单调性↗↘↗↘由表格知：02ln)1()1()(,21)0()(GGxGGxG极大值极小值。画出草图和验证212125ln)2()2(GG可知，当)2ln,21(m时，恰有四个不同的交点，与myxGy)(的图象与时，当21211)12()2ln,21(22mxmxagym交点。的图象恰有四个不同的)1ln()1(22xxfy