1-2-2-2分段函数与映射

1.2.2.2一、选择题1．集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e}则从A到B可以建立不同的映射个数为()A．5B．6C．8D．9[答案]C[解析]用树状图写出所有的映射为：a→db→dc→dc→eb→ec→dc→ea→eb→dc→dc→eb→ec→dc→e共8个．2．已知f(x)＝x2＋3(x＞0)，1(x＝0)，x＋4(x＜0).则f(f(f(－4)))＝()A．－4B．4C．3D．－3[答案]B[解析]f(－4)＝(－4)＋4＝0，∴f(f(－4))＝f(0)＝1，f(f(f(－4)))＝f(1)＝12＋3＝4.故选B.3．已知函数f(x)＝－x2＋2x＋m的图象与x轴有交点，则实数m的范围是()A．m＞－1B．m＞1C．m≥－1D．m≥1[答案]C[解析]f(x)＝－x2＋2x＋m的图象与x轴有交点，即方程－x2＋2x＋m＝0有实根，∴Δ≥0即4＋4m≥0，∴m≥－1，故选C.4．下列从P到Q的各对应关系f中，不是映射的是()A．P＝N，Q＝N*，f：x→|x－8|B．P＝{1,2,3,4,5,6}，Q＝{－4，－3,0,5,12}，f：x→x(x－4)C．P＝N*，Q＝{－1,1}，f：x→(－1)xD．P＝Z，Q＝{有理数}，f：x→x2[答案]A[解析]对于选项A，当x＝8时，|x－8|＝0∉N*，∴不是映射，故选A.5．给出下列四个命题：(1)若A＝{整数}，B＝{正奇数}，则一定不能建立从集合A到集合B的映射；(2)若A是无限集，B是有限集，则一定不能建立从集合A到集合B的映射；(3)若A＝{a}，B＝{1,2}，则从集合A到集合B只能建立一个映射；(4)若A＝{1,2}，B＝{a}，则从集合A到集合B只能建立一个映射．其中正确命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]B[解析]对于(1)f：A→B对应法则f：x→2|x|＋1故(1)错；(2)f：R→{1}，对应法则f：x→1，(2)错；(3)可以建立两个映射，(3)错；(4)正确，故选B.6．(广东梅县东山中学2009～2010高一期末)已知函数f(x)＝2x∈[－1，1]xx∉[－1，1]，若f[f(x)]＝2，则x的取值范围是()A．∅B．[－1,1]C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．{2}∪[－1,1][答案]D[解析]首先当x＝2时，f(2)＝2，∴f[f(2)]＝2，其次当x∈[－1,1]时，f(x)＝2，∴f[f(x)]＝2.7．已知函数f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(0)＝0，则f(4)的值是()A．5B．－5C．12D．20[答案]C[解析]由f(1)＝f(0)＝0得到：1＋p＋q＝0①，q＝0②，由①和②联立解得p＝－1，q＝0.于是f(x)＝x2－x，则f(4)＝42－4＝12.8．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图四个图形中较符合该学生走法的是()[答案]D[解析]t＝0时，该学生到学校的距离为d0，排除A、C，随着跑步开始，此学生到学校距离迅速缩短，而转入步行后，此学生到学校距离继续缩短，但较跑步时缩的慢了，∴选D9．某产品的总成本y(万元)与产量x之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量为()A．25台B．75台C．150台D．200台[答案]C[解析]由题意得：y≤25x得3000＋20x－0.1x2≤25x∴x2＋50x－30000≥0解得：x≥150或x≤－200又0＜x＜240，∴150≤x＜240，最低产量为150台．10．定义域为R的函数f(x)满足f(x)＋2f(－x)＝2x＋1，则f(x)＝()A．－2x＋1B．2x－13C．2x－1D．－2x＋13[答案]D[解析]∵f(x)＋2f(－x)＝2x＋1(x∈R)∴f(－x)＋2f(x)＝－2x＋1，消去f(－x)得，f(x)＝－2x＋13.二、填空题11．(2010·陕西文，13)已知函数f(x)＝3x＋2，x1，x2＋ax，x≥1，若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.[答案]2[解析]由题意得，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，a＝2.12．已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且φ(13)＝16，φ(1)＝8，则φ(x)的表达式为________．[答案]3x＋5x[解析]设f(x)＝kx(k≠0)，g(x)＝mx(m≠0)则φ(x)＝kx＋mx，由题设k3＋3m＝16k＋m＝8解之得：k＝3m＝5，∴φ(x)＝3x＋5x.三、解答题13．在国内投寄外埠平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克而不超过40克重付邮资160分．试写出x(0≤x≤40)克重的信应付的邮资y(分)与x(克)的函数关系，并求函数的定义域，然后作出函数的图象．[解析]y＝0(x＝0)80(0＜x≤20)，160(20＜x≤40)定义域为[0,40]，图象如下14．作出下列函数的图象．(1)f(x)＝2x，x∈Z，且|x|≤2；[解析](1)这个函数的定义域是集合{－2，－1,0,1,2}，对应法则是“乘以2”，故它的图象由5个孤立的点(－2，－4)，(－1，－2)，(0,0)，(1,2)，(2,4)组成，函数图象如图(1)所示．(2)这个函数分为两部分，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝1，当x∈(－∞，0]时，f(x)＝－1，函数图象如图(2)所示．15．(1)一次函数的图象如图(1)，求其解析式．(2)设二次函数的图象如图(2)所示，求此函数的解析式．[解析](1)设y＝kx＋b(k≠0)，由图知过(－1,0)和(0,2)点，∴－k＋b＝0b＝2，∴k＝2b＝2，∴y＝2x＋2.(2)设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由图知过A(－3,0)、B(1，0)、C(0，－2)三点，∴9a－3b＋c＝0a＋b＋c＝0c＝－2，∴a＝23b＝43c＝－2，∴y＝23x2＋43x－2.[点评]设y＝ax2＋bx＋c，由图知y＝0时，x＝－3或1，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两根－3和1，故可用根与系数关系求解，也可设ax2＋bx＋c＝a(x＋3)(x－1)．由过(0，－2)求出a，进而求出b、c.16．设A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)．是从集合A到集合B的映射，若B中元素(6,2)在映射f下对应A中元素(3,1)，求k，b的值．[解析](3,1)对应元素为(3k,1＋b)，∴3k＝6，b＋1＝2，解得k＝2b＝1.17．作出函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|的图象，并由图象求函数f(x)的值域．[解析]f(x)＝－3(x≥2)1－2x(－1＜x＜2)3(x≤－1)如图：由图象知函数f(x)值域为{y|－3≤y≤3}．