1-3-1-1函数的单调性

1.3.1.1一、选择题1．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是()A．y＝1－x2B．y＝x2＋xC．y＝－－xD．y＝xx－1[答案]D[解析]y＝1－x2在(－∞，0)上为增函数，y＝x2＋x在(－∞，0)上不单调，y＝－－x在(－∞，0)上为增函数，故选D.2．已知f(x)是R上的减函数，则满足f1xf(1)的x的取值范围是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0,1)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)[答案]D[解析]∵f(x)在R上单调递减且f(1x)f(1)，∴1x1，∴x0或x1.3．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A．y＝3－xB．y＝x2＋1C．y＝1xD．y＝－|x|[答案]B[解析]y＝3－x，y＝1x，y＝－|x|在(0,2)上都是减函数，y＝x2＋1在(0,2)上是增函数．4．若y＝f(x)是R上的减函数，对于x1＜0，x2＞0，则()A．f(－x1)＞f(－x2)B．f(－x1)＜f(－x2)C．f(－x1)＝f(－x2)D．无法确定[答案]B[解析]由于x1＜0，x2＞0，所以x1＜x2，则－x1＞－x2，因为y＝f(x)是R上的减函数，所以f(－x1)＜f(－x2)，故选B.5．函数f(x)＝－x2＋6x＋7的单调增区间为()A．(－∞，3]B．[3，＋∞)C．[－1,3]D．[3,7][答案]C[解析]方程－x2＋6x＋7＝0的两根为x1＝－1，x2＝7，又y＝－x2＋6x＋7对称轴为x＝3，如图知选C.6．函数y＝1－1x－1()A．在(－1，＋∞)内单调递增B．在(－1，＋∞)内单调递减C．在(1，＋∞)内单调递增D．在(1，＋∞)内单调递减[答案]C[解析]因为函数y＝1－1x－1可视作函数y＝－1x的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到的，所以y＝1－1x－1在(－∞，1)和(1，＋∞)内都是增函数，故选C.7．已知函数y＝f(x)的定义域是数集A，若对于任意a，b∈A，当ab时都有f(a)f(b)，则方程f(x)＝0的实数根()A．有且只有一个B．一个都没有C．至多有一个D．可能会有两个或两个以上[答案]C[解析]由条件知f(x)在A上单调增，故f(x)的图象与x轴至多有一个交点，故选C.8．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，则()A．f(2)f(1)f(4)B．f(1)f(2)f(4)C．f(2)f(4)f(1)D．f(4)f(2)f(1)[答案]A[解析]由条件知，二次函数f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，其图象开口向上，∵2－14－2，∴f(4)f(1)f(2)．[点评]当二次函数的图象开口向上时，与对称轴距离越远，对应的函数值越大；开口向下时恰好相反．9．(09·天津文)设函数f(x)＝x2－4x＋6，x≥0，x＋6，x＜0，则不等式f(x)＞f(1)的解集是()A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)[答案]A[解析]∵f(1)＝3，∴当x≥0时，由f(x)＞f(1)得x2－4x＋63，∴x＞3或x＜1.又x≥0，∴x∈[0,1)∪(3，＋∞)．当x＜0时，由f(x)＞f(1)得x＋6＞3∴x＞－3，∴x∈(－3,0)．综上可得x∈(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.10．设(c，d)、(a，b)都是函数y＝f(x)的单调减区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A．f(x1)f(x2)B．f(x1)f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．不能确定[答案]D[解析]函数f(x)在区间D和E上都是减函数(或都是增函数)，但在D∪E上不一定单调减(或增)．如图，f(x)在[－1,0)和[0,1]上都是增函数，但在区间[－1,1]上不单调．二、填空题11．考察单调性，填增或减函数y＝1－x在其定义域上为________函数；函数y＝1x在其定义域上为________函数．[答案]减减12．若f(x)＝(x－1)2x≥0x＋1x＜0，则f(x)的单调增区间是________，单调减区间是________．[答案]增区间为(－∞，0]、[1，＋∞)，减区间[0,1][解析]画出f(x)＝(x－1)2(x≥0)x＋1(x0)的图象如图，可知f(x)在(－∞，0]和[1，＋∞)上都是增函数，在[0,1]上是减函数.13．已知函数f(x)＝4x2－mx＋1，在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f(1)＝________.[答案]21[解析]由已知得－－m2×4＝－2，解得m＝－16∴f(x)＝4x2＋16x＋1，则f(1)＝21.三、解答题14．设f(x)在定义域内是减函数，且f(x)＞0，在其定义域内判断下列函数的单调性(1)y＝f(x)＋a(2)y＝a－f(x)(3)y＝[f(x)]2.[解析](1)y＝f(x)＋a是减函数，(2)y＝a－f(x)是增函数．证明从略．(3)设x2＞x1，f2(x2)－f2(x1)＝[f(x2)＋f(x1)][f(x2)－f(x1)]＜0，∴y＝f2(x)是减函数．15．画出函数y＝|x2－x－6|的图象，指出其单调区间．[解析]函数解析式变形为y＝－x2＋x＋6(－2≤x≤3)x2－x－6(x＜－2或x＞3)画出该函数图象如图，由图知函数的增区间为[－2，12]和[3，＋∞)；减区间为(－∞，－2)和[12，3]．16．讨论函数y＝1－x2在[－1,1]上的单调性．[解析]设x1、x2∈[－1,1]且x1x2，即－1≤x1x2≤1，则f(x1)－f(x2)＝1－x21－1－x22＝(x2－x1)(x2＋x1)1－x21＋1－x22当1x1≥0,1≥x20，x1x2时，f(x1)f(x2)，∴f(x)在[0,1]上为减函数，当－1≤x10，－1x2≤0，x1x2时，f(x1)f(x2)，∴f(x)在[－1,0]上为增函数．17．求证：函数f(x)＝x＋a2x(a＞0)，在区间(0，a]上是减函数．[解析]设0＜x1＜x2≤a，f(x2)－f(x1)＝(x2＋a2x2)－(x1＋a2x1)＝(x2－x1)＋a2(x1－x2)x1x2＝(x2－x1)(x1x2－a2)x1x2.∵0＜x1＜x2≤a，∴0＜x1x2＜a2，∴(x2－x1)(x1x2－a2)x1x2＜0，∴f(x2)＜f(x1)，∴f(x)＝x＋a2x(a0)在(0，a]上是减函数．18．已知f(x)在R上是增函数，且f(2)＝0，求使f(|x－2|)0成立的x的取值范围．[解析]不等式f(|x－2|)0化为f(|x－2|)f(2)，∵f(x)在R上是增函数，∴|x－2|2，∴x4或x0.