2-2-2-3指数函数与对数函数的关系

2.2.2.3一、选择题1.已知a0且a≠1，则在同一坐标系中，函数y＝a－x和y＝loga(－x)的图象可能是()[答案]D[解析]若0a1，则y＝a－x单调增，只能是A、C，此时，loga(－x)单调增，排除C，x＝1时，loga(－x)无意义，排除A；∴a1，此时y＝loga(－x)单调减，排除B，故选D.2.若0a1，函数y＝loga(x＋5)的图象不通过()A.第一象限B．第二象限C.第三象限D．第四象限[答案]A[解析]将y＝logax的图象向左平移5个单位，得到y＝loga(x＋5)的图象，故不过第一象限，选A.3.设0xy1，则下列结论中错误．．的是()①2x2y②23x23y③logx2logy2④log12xlog12yA．①②B．②③C．①③D．②④[答案]B[解析]∵y＝2u为增函数，xy，∴2x2y，∴①正确；∵y＝23u为减函数，xy，∴23x23y，∴②错误；∵y＝log2x为增函数，0xy1，∴log2xlog2y0，∴logx2logy2，∴③错误；∵y＝log12u为减函数0xy，∴log12xlog12y，∴④正确．4．如下图所示的曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a的取值分别为3、43、35、110，则相应于C1、C2、C3、C4的a值依次是()A.3，43，35，110B.3，43，110，35C.43，3，35，110D.43，3，110，35[答案]A[解析]根据对数函数图象的变化规律即可求得．5．函数y＝log12|x＋2|的增区间为()A．(－∞，＋∞)B．(－∞，－2)C．(－2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(－2，＋∞)[答案]B[解析]由y＝log12|x＋2|∵t＝－(x＋2)在x∈(－∞，－2)上是减函数，y＝log12t为减函数，∴此函数在(－∞，－2)上是增函数．6．设a0且a≠1，函数y＝logax的反函数与y＝loga1x的反函数的图象关于()A．x轴对称B．y轴对称C．y＝x对称D．原点对称[答案]B7．(08·陕西)设函数f(x)＝2x＋3的反函数为f－1(x)，若mn＝16(m、n∈R＋)，则f－1(m)＋f－1(n)的值为()A．－2B．1C．4D．10[答案]A[解析]解法一：由y＝2x＋3得x＝－3＋log2y，∴反函数f－1(x)＝－3＋log2x，∵mn＝16，∴f－1(m)＋f－1(n)＝－6＋log2m＋log2n＝－6＋log2(mn)＝－6＋log216＝－2.解法二：设f－1(m)＝a，f－1(n)＝b，则f(a)＝m，f(b)＝n，∴mn＝f(a)·f(b)＝2a＋3·2b＋3＝2a＋b＋6＝16，∴a＋b＋6＝4，∴a＋b＝－2.8．若函数f(x)＝loga|x＋1|在(－1,0)上有f(x)0，则f(x)()A．在(－∞，0)上是增函数B．在(－∞，0)上是减函数C．在(－∞，－1)上是增函数D．在(－∞，－1)上是减函数[答案]C[解析]当－1x0时，0x＋11，又loga|x＋1|0，∴0a1因此函数f(x)＝loga|x＋1|在(－∞，－1)上递增；在(－1，＋∞)上递减．9．已知函数f(x)＝loga(x－k)的图象过点(4,0)，而且其反函数y＝f－1(x)的图象过点(1,7)，则f(x)是()A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增[答案]A[解析]由于y＝f－1(x)过点(1,7)，因此y＝f(x)过点(7,1)，∴loga(4－k)＝0loga(7－k)＝1，解得k＝3a＝4，∴f(x)＝log4(x－3)是增函数．10．已知函数f(x)＝log12(3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是()A．－8≤a≤－6B．－8a－6C．－8a≤－6D．a≤－6[答案]C[解析]3－a×(－1)＋50a6≤－1⇒－8a≤－6，故选C.[点评]不要只考虑对称轴，而忽视了定义域的限制作用．二、填空题11．y＝logax的图象与y＝logbx的图象关于x轴对称，则a与b满足的关系式为________．[答案]ab＝112．方程2x＋x＝2，log2x＋x＝2,2x＝log2(－x)的根分别为a、b、c，则a、b、c的大小关系为________．[答案]bac[解析]在同一坐标系内画出y＝2x，y＝log2x，y＝2－x，y＝log2(－x)的图象．∴bac.13．方程a－x＝logax(a0且a≠1)的解的个数为____．[答案]1[解析]当a1时，在同一坐标系中作出y＝logax和y＝a－x的图象如图，则两个图象只有一个交点．同理，当0a1时，可观察出两个图象也只有一个交点．14．已知c1：y＝logax，c2：y＝logbx，c3：y＝logcx的图象如图(1)所示．则在图(2)中函数y＝ax、y＝bx、y＝cx的图象依次为图中的曲线__________．[答案]m1，m2，m3[解析]由图(1)知c1ab0故在图(2)中m3：y＝cx，m2：y＝bx，m1：y＝ax.15．函数y＝ax＋1(0a≠1)的反函数图象恒过点______．[答案](1，－1)[解析]由于y＝ax＋1的图象过(－1,1)点，因此反函数图象必过点(1，－1)．三、解答题16．已知函数f(x)＝log1a(2－x)在其定义域内单调递增，求函数g(x)＝loga(1－x2)的单调递减区间．[解析]由于f(x)＝log1a(2－x)在定义域内递增，所以01a1，即a1，因此g(x)＝loga(1－x2)的递减区间为[0,1)．17．我们知道，y＝ax(a0且a≠1)与y＝logax(a0且a≠1)互为反函数．只要把其中一个进行指对互化．就可以得到它的反函数的解析式．任意一个函数y＝f(x)，将x用y表示出来能否得到它的反函数？据函数的定义：对于自变量x的每一个值y都有唯一确定的值与之对应．如果存在反函数，应是对于y的每一个值，x都有唯一确定的值与之对应，据此探究下列函数是否存在反函数？若是，反函数是什么？若否，为什么？(1)y＝2x＋1;(2)y＝x；(3)y＝x2;(4)y＝2x－1x＋1.[解析](1)∵y＝2x＋1是单调增函数，由y＝2x＋1解得x＝12(y－1)这时对任意y∈R，都有唯一确定的x与之对应，也就是x是y的函数，按习惯用x表示自变量，y表示函数，则y＝2x＋1的反函数为y＝12(x－1)．(2)同(1)的道理，∵y＝x单调增，也存在反函数，由y＝x解出x＝y2，∴y＝x的反函数为y＝x2，因为这里的x就是y＝x中的y且y≥0，∴x≥0，即反函数为y＝x2(x≥0)．(3)∵x＝±1时，都有y＝1，反过来对于y＝1，x有两个值与之对应，故y＝x2不存在反函数．(4)由y＝2x－1x＋1解得x＝y＋12－y，对y的每一个值，x都有唯一值与之对应，故存在反函数，反函数为y＝x＋12－x(x≠2)．