2009-2010年湖北省荆州高三质检1模拟试卷（1）

1荆州质检Ⅰ模拟㈠一、选择题：（共50分）1．方程xxsinlg的实根个数有a个，方程xxsin的实根有b个，则ba等于（）A.2B.3C.4D.5C2．2()2,()2(0)fxxxgxaxa，对任意10[1,2],[1,2],xx存在使10()()gxfx，则的取值范围是()A．1(0,]2B．1[,3]2C．[3,)D．(0,3]C3．设1tan10,31tan10ab，则有A．222ababB．222abbaC．222ababD．222abbaA4.①xxysin；②1122xy；③)10(log)0(22xxxyx；④)2,2(122xxxy中，函数图像具有对称性的是（）A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④A5.设数列na的前项和为nS，令12nnSSSTn，称nT为数列12,,naaa的“理想数”（“凯森和”），已知数列12501,,aaa的“理想数”为2008，那么数列125012,,,aaa的“理想数”为（）A.2004B.2006C.2008D.2010B6.若函数(1)yfx的图像与函数ln1yx的图像关于直线yx对称，则()fx2A．21xeB．2xeC．21xeD．22xeB7.某一批袋装大米质量服从正态分布N（10，0.01）（单位：kg），任选一袋大米，它的质量在9.8kg-10.2kg内的概率是A．1(2)B．2(2)1C．(2)(2)FFD．(2)(2)1FFB8.200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如右图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为A．62辆B．76辆C．38辆D．124辆B9.对于任意实数a，要使函数*215cos()()36kyxkN在区间[,3]aa上的值54出现的次数不小于4次，又不多于8次，则k可以取A.12和B.23和C.34和D.2B10.下列说法中:①若定义在R上的函数)(xf满足)1()2(xfxf，则6为函数)(xf的周期；②若对于任意)3,1(x，不等式022axx恒成立，则311a；③定义：“若函数)(xf对于任意xR，都存在正常数M，使xMxf)(恒成立，则称函数)(xf为有界泛函．”由该定义可知，函数1)(2xxf为有界泛函；④对于函数1(),1xfxx设)()(2xffxf，)()(23xffxf，…，)()(1xffxfnn（*nN且2n），令集合2009(),MxfxxxR，则集合M为空集.正确的个数为A．1个B．2个C．3个D．4个B二．填空题（25分）11.已知非常数函数()fx在R上可导，当,1x时，有10xfx，且对任意xR都有(1)(1)fxfx，则不等式(2)(21)fxfx的解集是．311,312.已知函数3||sin2()()||2xxxfxxRx的最大值为M,最小值为m,则Mm_______.?213.若不等式2229ttatt在0,2t上恒成立，则a的取值范围是__________.]1,132[14.如图，一条螺旋线是用以下方法画成：ΔABC是边长为1的正三角形，曲线CA1，A1A2，A2A3分别以A、B、C为圆心，AC、BA1、CA2为半径画的弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线旋转一圈．然后又以A为圆心AA3为半径画弧…，这样画到第n圈，则所得螺旋线的总长度nl．(用π表示即可)2(3)nn15.对于函数f(x)，若在其定义域内存在两个实数a，b(a＜b)，使当x∈[a，b]时，f(x)的值域也是[a，b]，则称函数f(x)为“Kobe函数”.（1）给出下列两个函数：①()1fxx；②2()fxx，其中是“Kobe函数”的函数序号是②.（2）若函数2)(xkxf是“Kobe函数”，则实数k的取值范围是]2,49(.【解】（1）因为()1fxx是增函数，若f(x)为“科比函数”，则f(a)＝a，f(b)＝b，即a＋1＝a，b＋1＝b，无解，所以()1fxx不是“科比函数”.因为当x∈[0，1]时，2()fxx∈[0，1]，所以2()fxx是“科比函数”.（2）因为2)(xkxf是增函数，若2)(xkxf是“科比函数”，则存在实数a，b(－2≤a＜b)，使()()faafbb，即22bkbaka.所以a，b为方程2xkx的两个实数根，从而方程2kxx有两个不等实根.令2xt，则22(0)kttt.当t＝0时，k＝－2；当t＝12时，k＝94.A3A2A1CAB第14小题图4由图可知，当924k时，直线y＝k与曲线22(0)yttt有两个不同交点，即方程22(0)kttt有两个不等实根，故实数k的取值范围是]2,49(.三．解答题（75分）16.已知51cossin,02xxx.（I）求sinx－cosx的值；（Ⅱ）求xxxxxxcottan2cos2cos2sin22sin322的值.解：（Ⅰ）由,251coscossin2sin,51cossin22xxxxxx平方得即.2549cossin21)cos(sin.2524cossin22xxxxxx又,0cossin,0cos,0sin,02xxxxx故.57cossinxx（Ⅱ）xxxxxxxxxxxxsincoscossin1sin2sin2cottan2cos2cos2sin2sin3222125108)512()2512()sincos2(cossinxxxx17.已知函数bxaxxf2)(，存在正数b，使得)(xf的定义域和值域相同。（1）求非零实数a的值：（2）若函数xbxfxg)()(有零点，求b的范围。解:(1)若0a,对bR,()fx定义域为(,](0,)ba,但()fx的值域(0,)∴定义域与值域不同.若0a,定义域为[0,]bamax()()22bbfxfaa∴()fx值域为[0,]2ba∴2bbaa∴4a(2)由题意:24(0)4bbxbxxx有根.5224322440bxbxxbxbx在(0,]4b上有解,令432()4hxxbxb∴32123()16300[0,]164bbhxxbxxx且()hx在区间3(0,]16b上是递减函数,在区间3[,]164bb上是递增函数∴316bx是()hx的一个极小值.又2()(0)04bhhb∴由题意有3()016bh即432334()()01616bbbb∴221283()9b∴12839b18.本次高三数学月考试卷中共有8个选择题，每小题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，不选或选错都得0分.某同学对每道题都选出了一个答案，已确定第1～4题的答案都是正确的，对第5、6两道题，他都可判断出其中有两个选项是错误的，但对另两个选项都不能确定哪个正确；对第7题，他可判断出其中一个选项是错误的，但对另三个选项不能确定哪个正确；对第8题，他不理解题意只能乱猜，且各题答对与否相互独立.（Ⅰ）求该同学在这次月考中选择题至少答对7道题的概率；（Ⅱ）估计该同学在这次月考中选择题的实际得分最有可能是多少分？【解】（Ⅰ）设该同学在这次月考中选择题“答对8道题”为事件A，“答对7道题”为事件B，则事件A与B互斥.（1分）据题意，第1～4题都答对为必然事件，第5、6题答对的概率都为12，第7题答对的概率为13，第8题答对的概率为14，且各题答对与否相互独立.（2分）所以11111()223448PA.（3分）121111111311217()22342234223448PBC.（5分）171()()()48486pABPAPB.故该同学在这次月考中选择题至少答对7道题的概率是16.（6分）（Ⅱ）设该同学在这次月考中选择题的总得分为ξ分，则ξ的可能取值为20，25，30，35，40.（76分）若ξ＝20，则只答对第1～4题，其余各题都答错，所以11231(20)22348P.（8分）若ξ＝25，则第5～8题只答对1题，所以1211231113112117(25)22342234223448PC.（9分）若ξ＝30，则第5～8题只答对2题，1122112311131121111117(30)223422342234223448PCC.(10分)由（Ⅰ）知，7(35)48P，1(40)48P.所以1171771134020253035402884848484848E.（11分）估计该同学在这次月考中选择题的实际得分最有可能是30分.（12分）19.定义12,,,nxxx的“倒平均数”为*12()Nnnnxxx，已知数列{}na前n项的“倒平均数”为124n．（1）记*()1Nnnacnn，试比较nc与1nc的大小；（2）是否存在实数，使得当x时，2()401nafxxxn对任意nN恒成立？若存在,求出最大的实数；若不存在，说明理由．解：（1）数列的通项为42nan．故422411nncnn，易知，1nncc．（2）假设存在实数，使得当x时，2()401nafxxxn对任意Nn恒成立，则241naxxn对任意Nn都成立，，24xx1min()3111naan，得2430xx，有1x或3x．故存在最大的实数1符合题意．720.已知二次函数2()fxaxx（aR，a0）．（Ｉ）当０＜a＜12，[1,1]x时，()fx的最小值为43，求实数a的值．（II）如果x[0，1]时，总有|()fx|1．试求a的取值范围．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（III）令1a，当[,1]()xnnnN时，()fx的所有整数值的个数为()gn，数列(){}2ngn的前n项的和为nT，求证：7nT．解：（1）由210a知121a，故当1x时()fx取得最小值为43，即431)1(af，41a⑵由1xf得,12xax112xax对于任意1,0x恒成立，当0x时，0xf，则1xf恒成立；当0x时，有412111141211112222xxxaxxxaw.w.w.k.s.5.u.c.o.m对于任意的1,0x恒成立；111,0xx，则0412112x,故要使①式恒成立，则有0a，又00aa；又2412112x，则有2a，综上所述：02a．⑶当1a时，xaxxf2，则此二次函数的对称轴为21x，开口向上，故xf在1,nn上为单调递增函数，且当1,nnx时，1,nfnf均为整数，故Nnnnnnnnfnfng321111122，则数列nng2的通项公式为2322nngnn，故nnnnnT232212292725132①又143223221229272521nnnnnT