2017-2018学年高中数学人教A版必修四课下能力提升：（二十四） Word版含解析

课下能力提升(二十四)[学业水平达标练]题组1化简求值1．下列各式中，值为32的是()A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°D．sin215°＋cos215°2．设－3πα－5π2，化简1－cos（α－π）2的结果是()A．sinα2B．cosα2C．－cosα2D．－sinα23．求值：sin50°（1＋3tan10°）－cos20°cos80°1－cos20°.题组2条件求值4．若tanα＝3，则sin2αcos2α的值等于()A．2B．3C．4D．65．若sinα＋cosαsinα－cosα＝12，则tan2α＝()A．－34B.34C．－43D.436．若α∈0，π2，且sin2α＋cos2α＝14，则tanα的值等于()A.22B.33C.2D.37．若1＋tanα1－tanα＝2016，则1cos2α＋tan2α＝________．8．已知π2απ，cosα＝－45.(1)求tanα的值；(2)求sin2α＋cos2α的值．题组3倍角公式的综合应用9．函数f(x)＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．10．已知0xπ2，sin2x2＋3sinx2cosπ＋x2＝－110，求tan2x＋π3的值．[能力提升综合练]1．若cosπ4－θcosπ4＋θ＝260θπ2，则sin2θ的值为()A.23B.73C.76D.3462．已知sin2α＝23，则tanα＋1tanα等于()A．1B．2C．4D．33．若θ∈π4，π2，sin2θ＝378，则sinθ＝()A.35B.45C.74D.344．设a∈R，f(x)＝cosx(asinx－cosx)＋cos2π2－x满足f－π3＝f(0)，当x∈π4，11π24时，f(x)的值域为()A．[1，2]B．[2，3]C．[3，2]D．[2，2]5．等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．6．已知cos2α＝13，π2α2π，求1＋sinα－2cos2α23sinα＋cosα的值．7．设函数f(x)＝53cos2x＋3sin2x－4sinxcosx.(1)求f5π12；(2)若f(α)＝53，α∈π2，π，求角α.答案[学业水平达标练]1.解析：选Bcos215°－sin215°＝cos30°＝32.2.解析：选C由于－3πα－5π2，所以－3π2α2－5π4，所以cosα20.所以1－cos（α－π）2＝1＋cosα2＝cosα2＝－cosα2.3.解：∵sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°2sin40°cos10°＝1，cos80°1－cos20°＝sin10°2sin210°＝2sin210°，∴sin50°（1＋3tan10°）－cos20°cos80°1－cos20°＝1－cos20°2sin210°＝2.4.解析：选Dsin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2tanα＝2×3＝6.5.解析：选B由sinα＋cosαsinα－cosα＝12分子分母同时除以cosα，得tanα＋1tanα－1＝12，解得tanα＝－3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝34.6.解析：选D由已知得，sin2α＋1－2sin2α＝14，所以sin2α＝34，而α∈0，π2，所以sinα＝32，cosα＝12.因此，tanα＝3.7.解析：1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝1＋sin2αcos2α＝（cosα＋sinα）2cos2α－sin2α＝cosα＋sinαcosα－sinα＝1＋tanα1－tanα＝2016.答案：20168.解：(1)因为cosα＝－45，π2απ，所以sinα＝35，所以tanα＝sinαcosα＝－34.(2)sin2α＝2sinαcosα＝－2425.cos2α＝2cos2α－1＝725，所以sin2α＋cos2α＝－2425＋725＝－1725.9.解析：f(x)＝1＋cos2x＋sin2x＝1＋2sin2x＋π4，∴f(x)的最小值为1－2.答案：1－210.解：∵sin2x2＋3sinx2cosπ＋x2＝1－cosx2－3sinx2cosx2＝12－32sinx＋12cosx＝12－sinx＋π6，∴由已知得12－sinx＋π6＝－110，∴sinx＋π6＝35.∵0xπ2，结合sinx＋π6＝35易知π6x＋π6π2.∴cosx＋π6＝45，∴tanx＋π6＝34.∴tan2x＋π3＝2tanx＋π61－tan2x＋π6＝2×341－916＝247.[能力提升综合练]1.解析：选Bcosπ4－θcosπ2－π4－θ＝26，即cosπ4－θsinπ4－θ＝26，即12sinπ2－2θ＝26，所以cos2θ＝23.又因为0θπ2，所以02θπ，所以sin2θ＝73.故选B.2.解析：选Dtanα＋1tanα＝sinαcosα＋cosαsinα＝112sin2α＝3.3.解析：选D因为θ∈π4，π2，所以2θ∈π2，π，所以cos2θ0，所以cos2θ＝－1－sin22θ＝－18.又cos2θ＝1－2sin2θ＝－18，所以sin2θ＝916，所以sinθ＝34.4.解析：选Df(x)＝a2sin2x－1＋cos2x2＋1－cos2x2＝a2sin2x－cos2x，因为f－π3＝f(0)，所以a＝23，所以f(x)＝3sin2x－cos2x＝2sin2x－π6，x∈π4，11π24时，2x－π6∈π3，3π4，f(x)∈[2，2]．故选D.5.解析：设A是等腰△ABC的顶角，则cosB＝23，sinB＝1－cos2B＝1－232＝53.所以sinA＝sin(180°－2B)＝sin2B＝2sinBcosB＝2×53×23＝459.答案：4596.解：原式＝sinα－cosα3sinα＋cosα，又∵cos2α＝13，∴2cos2α－1＝13，∴cos2α＝23，3π22α2π，∴3π4απ，∴cosα＝－63，sinα＝33，∴原式＝5＋427.7.解：f(x)＝53cos2x＋3sin2x－4sinxcosx＝53cos2x＋53sin2x－2sin2x－43sin2x＝53－2sin2x－23(1－cos2x)＝33－2sin2x＋23cos2x＝33－4sin2x×12－cos2x×32＝33－4sin2xcosπ3－cos2xsinπ3＝33－4sin2x－π3.(1)f5π12＝33－4sin5π6－π3＝33－4sinπ2＝33－4.(2)由f(α)＝53，得sin2α－π3＝－32，由α∈π2，π，得2α－π3∈2π3，5π3，∴2α－π3＝4π3，α＝5π6.