2017-2018学年高中数学人教A版必修四课下能力提升：（十二） Word版含解析

课下能力提升(十二)[学业水平达标练]题组1三角函数在物理中的应用1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝5sin100πt＋π3，则当t＝1200时，电流I为()A．5B.52C．2D．－52．如图是一个单摆的振动图象，根据图象回答下面问题：(1)单摆的振幅为________；(2)振动频率为________．题组2三角函数在实际问题中的应用3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sint2(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？()A．[0，5]B．[5，10]C．[10，15]D．[15，20]4．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有()A．ω＝2π15，A＝3B．ω＝152π，A＝3C．ω＝2π15，A＝5D．ω＝152π，A＝55．某城市一年中12个月的平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y＝a＋Acosπ6（x－6）(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为________℃.6．如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)(2)估计当年3月1日动物种群数量．题组3建立三角函数模型解决实际问题7．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数y＝f(t)的图象可近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下列函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的是()A．y＝12＋3sinπ6t，t∈[0，24]B．y＝12＋3sinπ6t＋π，t∈[0，24]C．y＝12＋3sinπ12t，t∈[0，24]D．y＝12＋3sinπ12t＋π2，t∈[0，24][能力提升综合练]1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至()A．甲B．乙C．丙D．丁2．如图是函数y＝sinx(0≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是()3．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2，－2)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为()4．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP︵的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是()5．一根长acm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式是s＝3cosgat＋π3，t∈[)0，＋∞，则小球摆动的周期为________．6．据市场调查，某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA0，ω0，|φ|π2的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f(x)的解析式为________．7．如图所示，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A0，ω0)，x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S(3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．8．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12h，低潮时水的深度为8.4m，高潮时为16m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.(1)若从10月10日0：00开始计算时间，试用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1m)(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3m?答案[学业水平达标练]1.解析：选B直接将t＝1200代入计算即可．当t＝1200时，I＝5sin100π×1200＋π3＝5sin5π6＝52.故选B.2.解析：由题中图象，可知(1)单摆的振幅是1cm；(2)单摆的振动频率是1.25Hz.答案：(1)1cm(2)1.25Hz3.解析：选C由2kπ－π2≤t2≤2kπ＋π2，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C.4.解析：选A周期T＝15秒，ω＝2πT＝2π15.由图可知，水轮最高点距离水面5米，故A＋2＝5，即A＝3.5.解析：根据题意得28＝a＋A，18＝a＋Acosπ6（12－6）＝a－A，解得a＝23，A＝5，所以y＝23＋5cosπ6（x－6），令x＝10，得y＝23＋5cosπ6（10－6）＝23＋5cos2π3＝20.5.答案：20.56.解：(1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A0，ω0)，则－A＋b＝700，A＋b＝900，解得A＝100，b＝800.又周期T＝2×(6－0)＝12，∴ω＝2πT＝π6，∴y＝100sinπ6t＋φ＋800.又当t＝6时，y＝900，∴900＝100sinπ6×6＋φ＋800，∴sin(π＋φ)＝1，∴sinφ＝－1，∴取φ＝－π2，∴y＝100sinπ6t－π2＋800.(2)当t＝2时，y＝100sinπ6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.7.解析：选Ay＝f(t)的关系对应的“散点图”如下：由“散点图”可知，k＝12，A＝3.周期T＝12，所以ω＝π6.又t＝0时，y＝12，t＝3时，y≈15.所以φ＝0.因此，y＝12＋3sinπ6t，故选A.[能力提升综合练]1.解析：选C该题目考查了最值与周期间的关系：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，故选C.2.解析：选A当x∈0，π2时，f(x)＝π－2x；当x∈π2，π时，f(x)＝2x－π，故选A.3.解析：选C∵P0(2，－2)，∴∠P0Ox＝π4.按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－π4.此时P点纵坐标为2sint－π4，∴d＝2sint－π4.当t＝0时，d＝2，排除A、D；当t＝π4时，d＝0，排除B.4.解析：选C令AP所对圆心角为θ，由|OA|＝1，则l＝θ，sinθ2＝d2，∴d＝2sinθ2＝2sinl2，即d＝f(l)＝2sinl2(0≤l≤2π)，它的图象为C.5.解析：T＝2πga＝2π·ag.答案：2π·ag6.解析：由条件可知，B＝7，A＝9－7＝2.又T＝2×(9－3)＝12，∴ω＝2π12＝π6.∵3月份达到最高价，∴3×π6＋φ＝π2，∴φ＝0.所以f(x)的解析式为f(x)＝2sinπ6x＋7.答案：f(x)＝2sinπ6x＋7(1≤x≤12，x∈N)7.解：依题意，有A＝23，T4＝3，即T＝12.又T＝2πω，∴ω＝π6.∴y＝23sinπ6x，x∈[0，4]．∴当x＝4时，y＝23sin2π3＝3.∴M(4，3)．又P(8，0)，∴MP＝（8－4）2＋（0－3）2＝42＋32＝5(km)．即M、P两点间的距离为5km.8.解：(1)依题意知T＝2πω＝12，故ω＝π6，h＝8.4＋162＝12.2，A＝16－12.2＝3.8，所以d＝3.8sinπ6t＋φ＋12.2；又因为t＝4时，d＝16，所以sin4π6＋φ＝1，所以φ＝－π6，所以d＝3.8sinπ6t－π6＋12.2.(2)t＝17时，d＝3.8sin17π6－π6＋12.2＝3.8sin2π3＋12.2≈15.5(m)．(3)令3.8sinπ6t－π6＋12.210.3，有sinπ6t－π6－12，因此2kπ＋7π6π6t－π62kπ＋11π6(k∈Z)，所以2kπ＋4π3π6t2kπ＋2π，k∈Z，所以12k＋8t12k＋12.令k＝0，得t∈(8，12)；令k＝1，得t∈(20，24)．故这一天共有8h水深低于10.3m.