北京市昌平一中2010届高三上学期期中考试（数学理）

北京市昌平一中2010届高三上学期期中考试（数学理）[2009年10月28日]本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分.考试时间150分钟.第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的班级、姓名、学号填写在相应位置上.2．每小题选出答案后，把答案填写在机读卡上.如需改动，用橡皮擦干净后，再选填其他答案标号.一、本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合lg0Axx，220Bxxx，则AB()A．210xxB．110xxC．12xxD．02xx2.已知p：关于x的不等式220xaxa的解集是R，q：01a，则p是q的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.mC．充分必要条件D．既非充分又非必要条件3.函数xxgxxf122)(log1)(与在同一直角坐标系下的图象大致是()ABCD4.从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有()A．186种B．31种C．270种D．216种5.等差数列{na}中，，数列02211273aaa{nb}为等比数列，且77ba，则86bb的值为（）A．2B．4C．8D.166.右图是函数2()fxxaxb的部分图象，则函数()ln()gxxfx的零点所在的区间是()A．11(,)42B．(1,2)C．1(,1)2D．(2,3)7．设,abR，若33是3a与3b的等比中项，则ba22的最小值是()A．6B．42C．22D.268.函数f(x)的定义域为D，若对于任意12,xxDÎ，当12xx时，都有12()()fxfx£，则称函数()fx在D上为非减函数.设函数f(x)在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：○1(0)0f=；○21()()32xffx=；○3(1)1()fxfx-=-.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m科网则11()()38ff+等于（）高.考.资.源.网A.34B.12高.考.资.源.网C．1D.23高.考.资.源.网第Ⅱ卷(填空题解答题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.执行右边的程序框图，输出的T=10522()xx+的展开式中2x的系数是___________；其展开式中各项系数之和为________.(用数字作答)高.考.资.源.网11.满足不等式组0,087032yxyxyx，则目标函数3zxy的最大值为12.如下图是北京奥运会吉祥物“福娃”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含()fn个“福娃”，则(5)f；()fn．(填数字或解析式）13.设曲线1*()nyxnN在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为nx,令lgnnax，则1299aaa的值为14.对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如右图的方式“分裂”，仿此，52的“分裂”中最大的数是__________，若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值为__________.三、解答题：本大题共6道题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）函数2()lg(2)fxxx的定义域为集合A，函数()3||gxx的定义域为集合B.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（1）求AB和AB；（2）若ACpxxC,04|，求实数p的取值范围.16.（本小题满分13分）已知数列{na}满足120nnaa，且23a是42,aa的等差中项.（Ⅰ）求数列{na}的通项公式na；（Ⅱ）若nb=12132logna，12nnSbbb,求nS的最大值.17.（本小题满分13分）一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得1分.（1）求拿4次至少得2分的概率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）求拿4次所得分数的分布列和数学期望.18.（本小题满分13分）在四棱锥ABCDP中，PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，1(0)ABPABCaa.(Ⅰ)当1a时，求证：BDPC；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(Ⅱ)若BC边上有且只有一个点Q，使得QDPQ，求此时二面角QPDA的余弦值.ABQDCP19.（本小题满分14分）已知数列}{na是等差数列,18,652aa，数列}{nb的前n项和是Tn,且.121nnbT（1）求数列}{na的通项公式；（2）求证数列}{nb是等比数列；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（3）记nnnbac，求证：.1nncc20.（本小题满分14分）已知xxxgexxaxxfln)(],,0(,ln)(，其中e是自然常数，.aR（1）讨论1a时,()fx的单调性、极值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）求证：在（1）的条件下，1()()2fxgx；（3）是否存在实数a，使()fx的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.昌平一中高三年级理科数学期中测试题答案一选择题题号12345678答案CBCADCBA二、填空题9.3010.1024311.412.412221nn13.-214.915三、解答题15.解：(1)依题意，得2|20Axxx，|3||0Bxxw.w.w.k.s.5.u.c.o.m|{xA1x或2x}|{xB33x}∴A∩B=|{x13x或}32x，A∪B=R.(2)由04px得4px，而AC14p4p.16.（Ⅰ）∵120nnaa，即12nnaa，∴数列{na}是以2为公比的等比数列。∵23a是42,aa的等差中项，∴24324aaa，∴1112884aaa，∴12a，∴数列{na}的通项公式2nna。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）由（Ⅰ）及nb=12132logna，得132nbn令1320n则6.5n∴当16n时，0nb，当7n时，0nb∴当6n时，nS有最大值，636S17.解（1）设拿出球的号码是3的倍数的为事件A，则31)(AP，32)(AP，拿4次至少得2分包括2分和4分两种情况。818)32()31(3341CP，811)31(42P，9121PPP（2）的可能取值为4,2,0,2,4，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m8116)32()4(4P；8132)32)(31()2(314CP；8124)32()31()0(2224CP；818)2(P；811)4(P；分布列为P-4-20248116813281248188114381148182812408132)2(81164E18.解：(Ⅰ)当1a时，底面ABCD为正方形，BDAC又因为BDPA,BD面PAC…………………………3分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m又PC面PACBDPC…………………………4分(Ⅱ)因为APADAB,,两两垂直，分别以它们所在直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系，如图所示，令1AB，可得BCa则)1,0,0(),0,,1()0,,0(),0,0,1(PaCaDB…………………5分设mBQ，则)0)(0,,1(ammQ要使QDPQ，只要0)(1mamQDPQ即210mam………7分由02a，此时1m。所以BC边上有且只有一个点Q，使得QDPQ时，Q为BC的中点，且2a…………………………9分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m设面PQD的法向量)1,,(yxp则00pQDpDP即0120yyx解得)1,21,21(p…………………………11分yABQDCPxz取平面PAD的法向量)0,0,1(q则qp.的大小与二面角QPDA的大小相等所以66.cosqpqpqpw.w.w.k.s.5.u.c.o.m因此二面角QPDA的余弦值为66…………………………13分19.（1）由已知.184,611dada解得.4,21da.244)1(2nnan………………4分（2）由于nnbT211，①令n=1，得.21111bb解得321b，当2n时，11211nnbT②①－②得nnnbbb21211，.311nnbb又0321b,.311nnbb∴数列}{nb是以32为首项，31为公比的等比数列.……………………8分（3）由（2）可得.32nnb……9分nnnnnnnbac3)12(432)24(………10分.3)1(163)12(43)12(4111nnnnnnnncc1n，故.01nncc.1nncc……………………14分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m20.（Ⅰ）xxxfln)(，xxxxf111)(……1分∴当10x时，/()0fx，此时()fx单调递减当ex1时，/()0fx，此时()fx单调递增……3分∴()fx的极小值为1)1(f……4分（Ⅱ）()fx的极小值为1，即()fx在],0(e上的最小值为1，∴0)(xf，min()1fx……5分令21ln21)()(xxxgxh，xxxhln1)(，……6分当ex0时，0)(xh，()hx在],0(e上单调递增……7分∴minmax|)(|12121211)()(xfeehxhw.w.w.k.s.5.u.c.o.m∴在（1）的条件下，1()()2fxgx……9分（Ⅲ）假设存在实数a，使xaxxfln)(（],0(ex）有最小值3，/1()fxaxxax1…①当0a时，)(xf在],0(e上单调递减，31)()(minaeefxf，ea4（舍去），所以，此时)(xf无最小值.……10分②当ea10时，)(xf在)1,0(a上单调递减，在],1(ea上单调递增3ln1)1()(minaafxf，2ea，满足条件.……12分③当ea1时，)(xf在],0(e上单调递减，31)()(minaeefxf，ea4（舍去），所以，此时)(xf无最小值.……13分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m综上，存在实数2ea，使得当],0(ex时()fx有最小值3.……14分