广东省河源市龙川一中2011届高三第一次月考（理数）

-1-C1B1A1CBA龙川一中2011届9月月考高三理科数学试题一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合M=|1xx,集合N=2|9,xyxxR，则MN（）.A|03xx.B|13xx.C(2,1),(2,1).D2．若复数(1)(2)bii是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b()A．-2B．12C.12D．23．若函数21()sin2fxx(xR)，则()fx是()A．最小正周期为2的奇函数B.最小正周期为的奇函数C．最小正周期为2的偶函数D.最小正周期为的偶函数4．已知两条不同直线1l和2l及平面，则直线21//ll的一个充分条件是()A．//1l且//2lB．1l且2lC．//1l且2lD．//1l且2l5．已知等差数列{na}的前n项和为nS，若6318aa，则8S=（）A．68B．72C．54D．906．如图，三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为1的正三角形，1111AAABC面，正视图是长为2，宽为1的矩形,则该三棱柱的侧视图（或左视图）的面积为（）A．3B．32C．1D．327．在区间[0，]上随机取一个数x，则事件“sin3cos1xx”发生的概率为（）A．14B．13C．12D．238．平面内称横坐标为整数的点为“次整点”.过函数29yx图象上任意两个次整点作直线，则倾斜角大于45°的直线条数为（）A．10B．11C．12D．13二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分）-2-9.已知向量a、b的夹角为120°，且2|a|=|b|，则a(2a-b)的值为．10.函数12xy与x轴围成的面积是__________.11.如右图所示的算法流程图中，输出S的值为．12设481211011112(1)(2)xxaxaxaxa，则021012aaaa＝.13.设实数,||||1,3xxyxyy满足则的取值范围是.14．（坐标系与参数方程选做题）.在极坐标系中，过点π22,4作圆4sin的切线，则切线极坐标方程为.．15.（几何证明选讲选做题）.如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，过P作⊙O的切线，切点为C，32PC，若30CAP，则⊙O的直径AB..AOBPC三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．设函数()sincosfxmxx()xR的图象经过点π2，1．（Ⅰ）求()yfx的解析式，并求函数的最小正周期和最值．（Ⅱ）若()2sin12fA，其中A是面积为332的锐角ABC的内角，且2AB，求AC和BC的长。17.一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分.（Ⅰ）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；（Ⅱ）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸2次，求得分的概率分布列及数学期望.开始S＝0i＝3i＝i＋1S＝S＋ii＞10输出S结束是否-3-18．（本小题满分14）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，5AB，AA1＝4，点D是AB的中点（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；（Ⅱ）求二面角1DCBB的平面角的正切值．19、（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，有一个以10,3F和20,3F为焦点、离心率为32的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与xy、轴的交点分别为A、B，且向量OMOAOB。求：（1）点M的轨迹方程；（2）OM的最小值。20（本题满分14分）已知数列{}na，其前n项和nS满足121nnSS（是大于0的常数），且131,7SS.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求数列{}na的通项公式；（Ⅲ）设数列{}nna的前n项和为nT，试比较2nT与nS的大小.21（本题满分14分）设函数xxaxxfln)(，其中a为常数．（1）证明：对任意Ra，)(xfy的图象恒过定点；（2）当1a时，判断函数)(xfy是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（3）若对任意],0(ma时，)(xfy恒为定义域上的增函数，求m的最大值．-4-龙川一中2011届9月月考高三理科数学试题参考答案一、选择题：(共8题,每小题5分,满分40分)题号12345678答案BDDBBACB二、填空题：（每题5分，共30分）9.1010.4/311.5212.813.(-1/3,1/3)14.cos215.4，3A…………………9分13sin322ABCSABACA3AC…………………10分由余弦定理得：2222cos7BCACABABACA-5-7BC………………12分17.解：设随机变量表示所得分数（Ⅰ）2132353(4)5CCPC.………………3分（Ⅱ）212239321224(2)(),(3),(4)()5255525525PPCP…9分分布列为：234p9251225425…………………………………………10分均值为:9124142342525255E………………12分ks5u.com18.（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，222ACBCAB∴AC⊥BC，…………………2分又AC⊥1CC，且1BCCCC∴AC⊥平面BCC1，又1BC平面BCC1……………………………………4分∴AC⊥BC1………………………………………………………………5分（Ⅱ）解法一：取BC中点E，过D作1DFBC于F，连接EF…………6分D是AB中点，∴//DEAC，又AC平面11BBCC∴DE平面11BBCC，又EF平面11BBCC，1BC平面11BBCC∴DEEF∴1BCDE又1DFBC且DEDFD∴1BC平面DEF，EF平面DEF………8分∴1BCEF又1DFBC∴EFD是二面角1DBCB的平面角……………………………………10分AC＝3，BC＝4，AA1＝4，∴在DEF中，DEEF，32DE，2EFFEDC1B1A1CBA-6-∴3322tan42DEEFDEF…………………………………………13分∴二面角1DBCB的正切值为324…………………………………………14分解法二：以1CACBCC、、分别为xyz、、轴建立如图所示空间直角坐标系…………6分AC＝3，BC＝4，AA1＝4，∴(300)A，，，(00)B，4，(000)C，，，3(20)2D，，，1(044)B，，，∴3(20)2CD，，，1(044)CB，，平面11CBBC的法向量1(100)n，，，…………………8分设平面1DBC的法向量2000()nxy，，z，则1n，2n的夹角（或其补角）的大小就是二面角1DCBB的大小…………9分则由2002100302020440nCDxynCByz令04x，则03y，03z∴2(4,3,3)n………………12分1212124cos||||34nnnnnn，，则1232tan4nn，……………13分∵二面角1DBCB是锐二面角∴二面角1DBCB的正切值为324…………………………14分19解：椭圆方程可写为:y2a2+x2b2=1式中ab0,且a2－b2=33a=32得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为:x2+y24=1(x0,y0).--------------------------3分y=21－x2(0x1)y'=－2x1－x2-------------------4分DC1B1A1CBAzyx-7-设P(x0,y0),因P在C上,有0x01,y0=21－x02,y'|x=x0=－4x0y0,得切线AB的方程为:y=－4x0y0(x－x0)+y0.-------------------------6分设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得x=1x0,y=4y0.--------------------7分设M的坐标为(x,y),由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为:1x2+4y2=1(x1,y2)-------------------------9分(Ⅱ)|OM2=x2+y2,y2=41－1x2=4+4x2－1,-------------11分∴OM2=x2－1+4x2－1+5≥4+5=9.且当x2－1=4x2－1,即x=31时,上式取等号.-------13分故OM的最小值为3.--------------------14分20解：（Ⅰ）由121nnSS得2121SS，23221421SS.2230，0,1………………………………………………3分（Ⅱ）由121nnSS整理得：112(1)nnSS所以数列{1}nS是以112S为首项，2为公比的等比数列.……………………5分1122,21,nnnnSS……………………………………………6分112(2)nnnnaSSn.………………………………………………7分因为当1n时，11,a满足12nna，12nna………………………………8分[来源ks5uK]（Ⅲ）01221122232(1)22nnnTnn①23212122232(2)2(1)22nnnnTnnn②①－②得：221122222nnnnTn.则221nnnTn,…………………………………………………11分-8-12213(21)(3)2222nnnnnnTnSn.…………………12分∴当1n时，111022TS.当2n时，221022TS.即当1n或2n时，0,22nnnnTTSS.………………………………13分当3n时，0,22nnnnTTSS.………………………………14分，21．（本小题满分14分）解：（1）令0lnx，得1x，且1)1(f，所以)(xfy的图象过定点)1,1(；……………………………………………2分（2）当1a时，xxxxfln)(，222/1lnln11)(xxxxxxf………4分令1ln)(2xxxg，经观察得0)(xg有根1x，下证明0)(xg无其它根．xxxg12)(/，当0x时，0)(/xg，即)(xgy在),0(上是单调递增函数．所以0)(xg有唯一根1x；且当)1,0(x时，0)()(2/xxgxf，)(xf在)1,0(上是减函数；当),1(x时，0)()(2/xxgxf，)(xf在),1(上是增函数；…………………………………7分所以1x是)(xf的唯一极小值点．极小值是111ln1)1(f．………………8分（3）222/lnln1)(xaxaxxxaaxf，令axaxxhln)(2由题设，对任意],0(ma，有()0hx≥，),0(x，又xaxaxxaxxh)2)(2(22)(2/……………………………………10分当)2,0(ax时，0)(/xh，)(xh是减函数；当(,)2ax时，0)(/xh，)(xh是增函-9-数；所以当2ax时