湖南师大附中2010届高三第2次周考试卷

湖南师大附中2010届高三第2次周考试卷学科网数学（理科）学科网班级__________学号___________姓名__________学科网本试卷分选择题、填空题和解答题三部分，共14个小题，考试时间80分钟，试卷满分100分.学科网一、选择题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.学科网1.设命题p：{x||x|＞1}；命题q：{x|x2+2x–3＞0}，则p是q的（A）学科网A．充分不必要条件B．必要不充分条件学科网C．充要条件D．即不充分也不必要条件学科网【解】由|x|＞1得p：A={x|x1或x-1},又由x2+2x–3＞0得q：B={x|x1或x-3}；显然B是A的真子集，故q是p的充分不必要条件，从而p是q的充分不必要条件，故应选A.学科网2.已知函数)(xfy(R)x满足)()2(xfxf，且]1,1[x时，2)(xxf，则)(xfy与lgyx的图象的交点个数为（D）学科网A.1B.5C.7D.9学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网【解】由)()2(xfxf知函数)(xfy的周期为2,所以两个函数的图象如下图:学科网函数lgyx恒过点(1,0),且当x=10时,lgx=1,所以两函数图象共有9个交点.故应选D.学科网3.已知直线422yxayx与圆交于A、B两点，O是坐标原点，向量OA、OB满足||||OBOAOBOA，则实数a的值是（C）学科网A．2B．－2C．2或－2D．6或－6学科网【解】由||||OBOAOBOA可知OBOA，由直线x+y=a的斜率为-1，结合图形不难知：学科网-a=-2或2，则a=2或-2，故应选C.学科网4．已知双曲线E的离心率为e，左、右两焦点分别为F1、F2，抛物线C以F2为顶点，F1为焦点,点P为抛物线与双曲线右支上的一个交点，若a|PF2|＋c|PF1|＝8a2（其中a、c分别xyO1F2FPlRA1B1Ⅱ因素Ⅰ因素403020301510为双曲线的实半轴长和半焦距），则e的值为(A)学科网A.3B.3C.2D.6学科网【解析】A如右图所示,设点P的坐标为(x0,y0),由抛物线以F2为顶点,F1为焦点,可得其准线的方程为x＝3c,根据抛物线的定义可得|PF1|＝|PR|＝3c－x0,又由点P为双曲线上的点,根据双曲线的第二定义可得学科网|PF2|x0－a2c＝e,即得|PF2|＝ex0－a,学科网由已知a|PF2|＋c|PF1|＝8a2，可得－a2＋3c2＝8a2,即e2＝3,学科网由e＞1可得e＝3,故应选A.学科网5..对于正实数，记M为满足下述条件的函数)(xf构成的集合：Rxx21,且12xx，有)()()()(121212xxxfxfxx．下列结论中正确的是(C)学科网A．若2121)()(,)(,)(MxgxfMxgMxf则，学科网B．若2121)()(,0)(,)(,)(MxgxfxgMxgMxf则且’学科网C．若2121)()(,)(,)(MxgxfMxgMxf则，学科网D．若212121)()(,,)(,)(MxgxfMxgMxf则且.学科网【解】对于)()()()(121212xxxfxfxx，即有1222)()(xxxfxf学科网，令kxxxfxf1212)()(，有k，不妨设,)(,)(21MxgMxf即有2211,gfkk，因此有2121gfkk，因此有.21)()(Mxgxf，故应选C.学科网二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在题中的横线上.学科网6.复数3,2zaiaR且21322zi，则a的值为21;学科网【解】∵2332143,343222aaaiaz所以21a.学科网7.右图是一个纵横对折法某次试验后得到两个试验点A1、B1，学科网比较试验结果表明B1比A1好，则存优范围（ⅠⅡ分别表示学科网两个因素）是15≤Ⅰ≤30,20≤Ⅱ≤40;学科网【解析】：由纵横对折法可知，丢弃包括A1所在的班个平面区域，即去掉左半部分，所以存优范围是15≤Ⅰ≤30,20≤Ⅱ≤40；学科网8.设x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则2yxz的最小值是3．学科网【解析】∵x，z＞0，∴323xzxz≥，∵x－2y＋3z＝0，∴22(3)34yxzxzxz≥9.某地区为了解70~80岁老人的日睡眠时间（单位：h），现随机地选出50名做调查，下表是日睡眠时间频率分布表：学科网学科网序号学科网（i）分组学科网(睡眠时间)组中值学科网（Gi）频数学科网(人数)频率学科网（Fi）1[4，5）4.560.122[5，6）5.5100.23[6，7）6.5200.44[7，8）7.5100.25[8，9]8.540.08学科网在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为6.42．学科网【解析】S＝4.5×0.12＋5.5×0.2＋6.5×0.4＋7.5×0.2＋8.5×0.08＝6.42．学科网10.将全体正整数排成一个三角形数阵：学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网根据以上排列规律，数阵中第n（n≥3）行的从左向右的第3个数是32)1(nn学科网【解析】因为第n行共有n个数，所以前n－1行共有1＋2＋…＋（n－1）＝(1)2nn个数，则第n行（n≥3）从左向右的第3个数为(1)2nn＋3．学科网三、解答题：本大题共4个小题,共50分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.学科网11.(本小题满分12分)学科网已知函数3()log3(13)fxxx，设)()()(22xfxfxF学科网.(1)求F(x)的最大值及最小值.学科网123456789101112131415………………开始S0输入Gi，Fii1SS＋Gi·Fii≥5ii＋1NY输出S结束(2)已知条件31:xp，条件qp,2)(:是且mxFq的充分条件，求实数m的取值范围.学科网【解】（1）∵3()log3(13)fxxx学科网3log)3(log)()()(232322xxxfxfxF学科网=6log4log323xx2分学科网3131312xxx4分学科网令xt3log，则]21,0[t,2)2(64)(22ttttF5分学科网417)(,6)(minmaxxFxF.6分学科网（2）2)(22)(mxFmmxF8分学科网∵p是q的充分条件,学科网4254624172mmm11分学科网∴m的取值范围是4254m12分学科网12.(本小题满分12分)学科网已知y=f(x)是定义在[–1，1]上的奇函数，x∈[0，1]时，f(x)=441xxa．学科网（1）求x∈[–1，0)时，y=f(x)解析式，并求y=f(x)在[0，1]上的最大值．学科网（2）解不等式f(x)15．学科网【解析】（1）∵y=f(x)为奇函数∴f(0)=0∴00441a=0∴a=–1……2分学科网设x∈[–1，0)则–x∈(0，1]∴f(x)=–f(–x)=–4141xx=–1414xx……5分x∈[0，1]时，f(x)=4141xx=412214141xxx∴y=f(x)在[0，1]上为增函数．∴f(x)max=f(1)=413415．……7分（2）∵y=f(x)为奇函数∴x∈[–1，0)时，y=f(x)为单调递增函数∴x∈[–1，0)时，f(x)f(0)=0……9分由0101,341142541得xxxxx∴4013log2xx∴43log12x．……12分13.(本小题满分13分)某化工企业生产某种产品，生产每件产品的成本为3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11–x)2万件；若该企业所生产的产品能全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a(1≤a≤3)．（Ⅰ）求该企业正常生产一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润．【解】（Ⅰ）依题意，L(x)=(x–3)(11–x)2–a(11–x)2=(x–3–a)(11–x)2，x∈[7，10]．………………5分（Ⅱ）因为L′(x)=(11–x)2–2(x–3–a)(11–x)=(11–x)(11–x–2x+6+2a)=(11–x)(17+2a–3x)．由L′(x)=0，得x=11[7，10]或x=1723a．………………7分∵1≤a≤3，∴1917223333a．在x=1723a的两侧L′(x)由正变负，……………………8分故①当19172733a，即1≤a≤2时，L′(x)在[7，10]上恒为负，∴L(x)在[7，10]上为减函数．∴[L(x)]max=L(7)=16(4–a)．………………………………10分②当71722333a，即2a≤3时，[L(x)]max=L317248327()()aa……12分即1≤a≤2时，则当每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4–a)万元．当2a≤3时，则每件产品出厂价为1723a元时，年利润最大，为427(8–a)3万元．…………13分14.(本小题满分13分)已知函数为常数）aaxxgxxf(21)(,ln)(2，若直线l与)()(xgyxfg和的图象都相切，且l与)(xfy的图象相切于定点)),1(,1((fP（1）求直线l的方程及a的值；（2）当Rk时，讨论关于x的方程kxgxf)()1(2的实数解的个数.【解】（1）∵)0,1(,1)1(',1)('切点为fxxf2分∴l的解析式为1xy.3分又l与)(xgy相切，022221122axxaxyxy4分210)22(4)2(2aa6分(2)令2121)1ln()()1()(222xxxgxfxh8分令1,00)('3,21xxxh.01+0+↗极大值↘极小值↗极大值↘10分),2(lnk时，方程无解.当2lnk时，方程有2解.当2ln21k，方程有4解.当21k时，方程有3解.当21k时，方程有2解.13分