湖南长沙市一中2011届高三第四次月考（数学理）

第1页共13页湖南省长沙市第一中学2011届高三上学期第四次月考（数学理）考试范围：集合、逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量、数列、不等式、推理与证明时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算复数z211ZTZTZT的值为（）A．0B．2C．ZT1D．1i2．已知命题:pxR，210x，则命题p的否定是（）A．,210xxRB．,210xRxC．,210xxRD．,210xRx3．已知：等差数列na满足244aa，3510aa，则数列{na}的公差d＝（）A．138B．135C．95D．234．集合21Axx，240Bxxx，那么＂aA＂是＂aB＂的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．如下图所示的程序框图运行后输出的结果为（）A．36B．45C．55D．66第2页共13页第5题图第6题图6．如上图，平面内的两个单位向量OA，OB，它们的夹角是60，OC与OA、OB向量的夹角都为30，且||OC＝23，若OCOAOB，则值为（）A．2B．4C．32D．347．已知：0a且1a，若函数2()log()afxaxx在[3,4]是增函数，则a的取值范围是（）A．(1,)B．)131(，C．11[,)(1,)83D．)1()4181[，，解：当1a时，2yaxx的对称轴，112xa2uaxx在[3,4]上递增，且2330a即13a，logayu是增函数，1a当01a时，logayu是减函数，2uaxx在[3,4]上是减函数11428116404aaaaa综上：(1,)a，选Ａ8．若定义在[2010,2010]上的函数()fx满足：对于任意1x，2[2010,2010]x，有12()fxx12()()2009fxfx．设()fx的最大值、最小值分别为M，N，则MN的值为（）A．2009B．2010C．4018D．4020二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在题中的横线上）CBOA开始否是结束A=1，S=0S=S+AA=A+1输出S9?A第3页共13页9．已知函数()|sin()|fxx(其中0)的最小正周期为2，则的值为．10．已知4b，a与b的夹角为120，则b在a上的投影为解：1cos1204()22b11．已知0a，0b，且412abab，则ab的最大值为．12．观察下列不等式474131211353121123211222222一般地，当2n时n13121122（用含n的式子表示）13．已知函数()fx的定义域为{|,1}xxxR且，(1)fx为偶函数，当1x时，2()21fxxx，当1x时，()fx的递增区间是．14．定义*(1)(2)(1)(,)nxMxxxxnxnRN，如44(4)(3)(2)(1)24M．对于函数31()xfxM，则函数()fx的解析式是：()fx=xx3，且()fx的单调递减区间是（写成开区间或闭区间都给全分）．15．若函数()yfx，xD同时满足下列条件，（1）在D内为单调函数；（2）存在实数m，n．当[,]xmn时，[,]ymn，则称此函数为Ｄ内等射函数，设3()lnxaafxa(0,1)aa且则(1)()fx在(,)的单调性为；(2)当()fx为R内的等射函数时，a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）在四边形ABCD中，8AD，6CD，13AB，90ADC，且50ABAC．（1）求三角形ABC的面积和边BC的长度；第4页共13页（2）求sinBAD的值．17．（本小题满分12分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且1cos2aCcb（1）求角A的大小；（2）若1a，求△ABC的周长l的取值范围．18．（本小题满分12分）已知数列na是等差数列，nb是等比数列，且112ab，454b，12323aaabb．（1）求数列na和nb的通项公式（2）数列nc满足nnncab，求数列nc的前n项和nS．19．（本题满分13分）设函数31()(0)3fxaxbxcxa，已知abc，且01ba，曲线()yfx在x=1处取极值．（Ⅰ）如果函数()fx的递增区间为[,]st，求||st的取值范围；（Ⅱ）如果当(xkk是与,,abc无关的常数)时，恒有()0fxa，求实数k的最小值20．（本小题满分13分）某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自2009年9月以来的第n个月（2009年9月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量与出口量的和）分别为bn、cn和an(单位：万件)，依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：bn+1=aan，cn+1=an+ban2（其中a、b为常数），已知a1=1万件，a2=1.5万件，a3=1.875万件．（1）求a，b的值，并写出an+1与an满足的关系式；（2）试用你所学的数学知识论证销售总量na逐月递增且控制在2万件内；DABC′第5页共13页（3）试求从2009年9月份以来的第n个月的销售总量an关于n的表达式．21．（本小题满分13分）已知函数f(x)=2ln,(1)0.baxxfx（1）若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；（2）若函数f(x)的图象在x=1处的切线垂直于y轴，数列{na}满足11()11nnnafnaa．①若a1≥3，求证：an≥n+2)(*Nn；②若a1=4，试比较1231111211115naaaa与的大小，并说明你的理由．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）第6页共13页1．计算复数z211ZTZTZT的值为（C）A．0B．2C．ZT1D．1i2．已知命题:pxR，210x，则命题p的否定是（D）A．,210xxRB．,210xRxC．,210xxRD．,210xRx3．已知：等差数列na满足244aa，3510aa，则数列{na}的公差d＝（C）A．138B．135C．95D．234．集合21Axx，240Bxxx，那么＂aA＂是＂aB＂的（A）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．如下图所示的程序框图运行后输出的结果为（B）A．36B．45C．55D．66第5题图第6题图6．如上图，平面内的两个单位向量OA，OB，它们的夹角是60，OC与OA、OB向量的夹角都为30，且||OC＝23，若OCOAOB，则值为（B）A．2B．4C．32D．347．已知：0a且1a，若函数2()log()afxaxx在[3,4]是增函数，则a的取值范围是（A）A．(1,)B．)131(，C．11[,)(1,)83D．)1()4181[，，CBOA开始否是结束A=1，S=0S=S+AA=A+1输出S9?A第7页共13页解：当1a时，2yaxx的对称轴，112xa2uaxx在[3,4]上递增，且2330a即13a，logayu是增函数，1a当01a时，logayu是减函数，2uaxx在[3,4]上是减函数11428116404aaaaa综上：(1,)a，选Ａ8．若定义在[2010,2010]上的函数()fx满足：对于任意1x，2[2010,2010]x，有12()fxx12()()2009fxfx．设()fx的最大值、最小值分别为M，N，则MN的值为（C）A．2009B．2010C．4018D．4020二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在题中的横线上）9．已知函数()|sin()|fxx(其中0)的最小正周期为2，则的值为2．10．已知4b，a与b的夹角为120，则b在a上的投影为2解：1cos1204()22b11．已知0a，0b，且412abab，则ab的最大值为4．12．观察下列不等式474131211353121123211222222一般地，当2n时n13121122nn12（用含n的式子表示）13．已知函数()fx的定义域为{|,1}xxxR且，(1)fx为偶函数，当1x时，2()21fxxx，当1x时，()fx的递增区间是7[,)4．解：∵(1)yfx关于y轴对称，∴()yfx关于x=1成轴对称．第8页共13页).,47[)(1)(),47[]41(12)(12的递增区间为时调递增，即单时单调递减，从而可知，在时，当xfxxfxxxxfx14．定义*(1)(2)(1)(,)nxMxxxxnxnRN，如44(4)(3)(2)(1)24M．对于函数31()xfxM，则函数()fx的解析式是：()fx=xx3，且()fx的单调递减区间是3333(,)[,]3333或（写成开区间或闭区间都给全分）．解：∵3()(1)(1)fxxxxxx，又由2()310fxx，得3333x即()fx的单调减区间为33(,)33．15．若函数()yfx，xD同时满足下列条件，（1）在D内为单调函数；（2）存在实数m，n．当[,]xmn时，[,]ymn，则称此函数为Ｄ内等射函数，设3()lnxaafxa(0,1)aa且则(1)()fx在(,)的单调性为增函数；(2)当()fx为R内的等射函数时，a的取值范围是(0,1)(1,2)．解：（1）1'()ln0lnxxfxaaaa,()fx在R上是增函数．（2）()fx为等射函数3()lnxaafxxa有两个不等实根．即ln30xaxaa有两个不等实根．令()ln3xgxaxaa'()lnlnln(1)xxgxaaaaa,令'()00gxx1当1a时，0x时，'()0gx；0x时，'()0gxmin()(0)1302gxgaa12a2当01a时，0x时，'()0gx；0x时，'()0gxmin()(0)001gxga，第9页共13页综上：(0,1)(1,2)a三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）在四边形ABCD中，8AD，6CD，13AB，90ADC，且50ABAC．（1）求三角形ABC的面积和边BC的长度；（2）求sinBAD的值．解：（1）由已知||13AB，22||10ACADCD50ABAC||||cos50ABACBAC∴5cos13BAC，……………………………………………3分∴12sin13BAC，则1112sin1310602213ABCSABACBAC…………5分由余弦定理得2