惠州市第三中学2010-2011年高三第三次测试数学试卷(理)

-1-惠州市第三中学2010-2011学年第一学期第三次测试高三数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共20题。满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题纸上。2．选择题每小题选出答案后，答在答题纸上3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．考试结束后，将答题纸交回。第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：(本大题共8小题，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设P、Q是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊙”：P⊙Q=}.|{QPxQPxx，且如果}0,4|{},4|{2xyyQxyxPx，则P⊙Q=（）A),2(]1,2[B),2[]1,2[C[1，2]D（2，+）2．设x，y满足约束条件0,,4312.xyxxy则231xyx的取值范围为（）A．1,5B．2,6C．2,10D．3,113．在等比数列na中,12a,前n项和为nS,若数列1na也是等比数列,则nS等于（）(A)122n(B)3n(C)2n(D)31n4．不等式2()0fxaxxc的解集为{|21}xx,则函数()yfx的图象为（）5．已知)(02RxOCxOBxOA，其中A、B、C三点共线，则满足条件的x（）A．不存在B．有一个C．有两个D．以上情况均有可能6．已知直线xya与圆224xy交于A、B两点，O是坐标原点，向量OA、OB满足||||OAOBOAOB，则实数a的值是（）（A）2（B）2（C）6或6（D）2或27．如图，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，且BCAD,，AD=4，BC=8，AB=6，若10tan2tanBCPADP，则点P在平面内的轨迹是（）2,4,6-2-A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分8．若函数,0)(210)1,0)(2(log)(2xfaaxxxfa）内恒有，在区间（则f（x）的单调递增区间是（）A．)41,(B．),41(C．)21,(D．（0，+∞）第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以202cms的流量倒入杯中，当水深为4cm时，则水面升高的瞬时变化率是.10．已知ab0，则a2+16b(a－b)的最小值是_________。11．在ABC△中，ABBC，7cos18B．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e．12．已知数列}{na的通项公式为(2)nnan，则数列{nnab}成等比数列是数列}{nb的通项公式为nbn的条件（对充分性和必要性都要作出判断）．13．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是14．给出下列四个结论：①函数sinyx在第一象限是增函数；②函数1cos2yx的最小正周期是③若22,ambm则ab；④函数()sinfxxx（xR）有3个零点；⑤对于任意实数x，有()(),()(),fxfxgxgx且x0时,()0,()0,fxgx则x0时()().fxgx其中正确结论的序号是.（填上所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15（12分）已知函数()sin()sin()cos(,)66fxxxxaaRa为常数.(Ⅰ)求函数()fx的最小正周期；(Ⅱ)若函数()fx在[-2，2]上的最大值与最小值之和为3，求实数a的值.图11-3-16．（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点.（Ⅰ）求证：AB1//面BDC1；（Ⅱ）求二面角C1—BD—C的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论.17、（本小题满分14分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点。（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围；（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。错误!未找到引用源。18．已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；（Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.19已知曲线)0(1)1(log)(2xxxxf上有一点列))(,(*NnyxPnnn，点nP在x轴上的射影是)0,(nnxQ，且)(12*1Nnxxnn，11x.（1）求数列}{nx的通项公式；（2）设四边形11nnnnPQQP的面积是nS，求证：4121121nnSSS20定义),0(,,)1(),(yxxyxFy（1）令函数))94(log,1()(22xxFxf的图象为曲线c1，曲线c1与y轴交于点A（0，m），过坐标原点O作曲线c1的切线，切点为B（n，t）（n＞0）设曲线c1在点A、B之间的曲线段与OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值；（2）当).,(),(,,*xyFyxFyxNyx证明时且-4-惠州市第三中学2010-2011学年第一学期第三次测试高三数学答案一、选择题ADCCCDBC二、填空题9．80cms910.1611.38cea12.必要不充分13.214.③⑤三、解答题：15.解：（Ⅰ）∵()2sincoscos6fxxxa3sincosxxa2sin6xa……………………4分∴函数()fx的最小正周期2T………………………6分(Ⅱ)∵,22x，∴2363x∴当63x，即2x时，min32fxfa……8分当62x，即3x时，max23fxfa……10分由题意，有(3)(2)3aa∴31a……12分16.（I）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点.又D是AC的中点，∴OD//AB1.………………………………………………2分∵AB1面BDC1，OD面BDC1，∴AB1//面BDC1.…………………………………………4分（II）解：如力，建立空间直角坐标系，则C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0）……………………5分设n=（x1，y1，z1）是面BDC1的一个法向量，则-5-,0011DCnBCn即)21,31,1(,030231111nyxzy取.…………6分易知CC1=(0，3，0)是面ABC的一个法向量.723671||||,cos111CCnCCnCCn.…………………………8分∴二面角C1—BD—C的余弦值为72.………………………………9分（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1.则.373,0)3(320)3(3,0011yyyyDCCPBCCP即∴方程组无解.∴假设不成立.∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1.……………14分17.解：（1）设椭圆方程为)0(12222babyax……………………………1分则2811422222bababa解得…………………………………………3分∴椭圆方程为12822yx………………………………………………4分（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m又KOM=21mxyl21的方程为：……………………………………………………5分由0422128212222mmxxyxmxy……………………………………6分∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，分且解得8...........................................................0,22,0)42(4)2(22mmmm-6-（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可…………9分设1122(,),(,)AxyBxy则11112ykx,22212ykx由222240xmxm212122,24xxmxxm……………………………………………………10分而12122112121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)yyyxyxkkxxxx)2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2()1(4))(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212121211221xxmmmmxxmxxmxxxxxmxxmx013......................................................0)2)(2(444242212122kkxxmmmm分故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.…………………………14分18.解：（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，即,03230323baba…………………………………………2分解得a=1，b=0.∴f(x)=x3－3x.……………………………………………………4分（II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，当－1x1时，f′(x)0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数，fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－2……………………………………6分∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)||f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－2)=4………………………………8分（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足.30300xxy因)1(3)(200xxf，故切线的斜率为-7-13)1(3003020xmxxx，整理得03322030mxx.∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，∴关于x0方程3322030mxx=0有三个实根.……………………10分设g(x0)=3322030mxx，则g′(x0)=60206xx，由g′(x0)=0，得x0=0或x0=1.∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.∴函数g(x0)=3322030mxx的极值点为x0=0，x0=1………………12分∴关于x0方程3322030mxx=0有三个实根的充要条件是0