平面向量与解三角形

辽宁名校2011届高三数学单元测试—平面向量与解三角形注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟．2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名．考号．考试科目涂写在答题卡上．考试结束，试题和答题卡一并收回．3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法中正确的是（）A．共面向量就是向量所在的直线在同一平面内；B．长度相等的向量叫做相等向量；C．零向量的长度为零；D．共线向量的夹角为00．2．已知a)1,(x，b)2,3(x，则a·b0的解集是（）A．1(,)2B．1(,)2C．1(,)2D．1(,)23．如果a=(1,x)，b=(1,3)，且（2a+b）∥（a2b），则x=（）A．－3B．3C．13D．134．已知a)1,2(，b),3(x，若（2ab）⊥b，则x的值为（）A．1B．3C．1或3D．1或35．在△ABC中，若Acbcba则,222（）A．030B．060C．0120D．01506．e1、e2是平面内不共线的两向量，已知ABe1ke2，CB2e1+e2，CD3e1e2，若DBA,,三点共线，则k的值是（）A．1B．2C．3D．47．在ABC中,60,8,5Cba,则CABC的值为（）A．10B．20C．－10D．208．在△ABC中，若Babsin2，则A=（）A．030B．060C．0015030或D．0060120或9．在△ABC中，若,coscoscosCcBbAa则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形10．下列说法中错误的是（）①0ba，则0a或0b；②c)a(bb)c(a；③222q)(pqp.A．①、②B．①、③C．②、③D．①、②、③11．在△ABC中，若∠C=60°，则cabcba=（）A．1B．2C．3D．412．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成060角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（）A.6B．2C．25D．27第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上．13．向量),(43a,则与a平行的单位向量的坐标为．14．设p=(2,7)，q=(x,3)，若p与q的夹角)2,0[，则x的取值范围是.15．以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使90A，则AB的坐标为.16．地面上画了一个60的角BDA，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米，正好到达BDA的另一边BD上的一点，我们将该点就记为点B，则B与D之间的距离为米.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设向量(4cos,sin),(sin,4cos),(cos,4sin)abc（1）若a与2bc垂直，求tan()的值；（2）求||bc的最大值;（3）若tantan16，求证：a∥b.18．（本小题满分12分）在△ABC中，,,ABC所对的边分别为,,abc，6A，(13)2cb．（1）求C；（2）若13CBCA，求a,b，c．19．（本小题满分12分）已知等腰直角三角形AOB中，AC、BD为中线，求AC与BD夹角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知A、B、C是直线l上的不同三点，O是l外一点，向量,,OAOBOC满足23(1)(ln)2OAxOBxyOC，记()yfx；（1）求函数()yfx的解析式；（2）求函数()yfx的单调区间．21．（本小题满分12分）已知△ABC中，（a－c）（sinA+sinC）=（a－b）sinB，（1）求∠C；（2）若△ABC的外接圆半径为2，试求该三角形面积的最大值．22．（本小题满分14分）已知向量m＝（sin4x，cos4x），n＝(3cos4x，cos4x)，记f(x)=m•n；（1）若f(x)=1,求cos()3x的值；（2）若△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围．参考答案一、选择题1．C；解析：共面向量就是平行向量，故A是错的；相等向量是指长度相等且方向相同的向量，故B是错的；根据共线向量的概念知共线向量的夹角为0°或180°，故D是错的；∴正确的只有C．2．C；解析：∵a·b02423xxx，∴a·b0的解集是}21|{xx.3．A；解析：∵2a+b=(1,2x+3)，a2b=(3,x6)；又2a+b∥a2b，∴1×(x6)(2x+3)×3=0，解得x=3．4．D；解析：由a)1,2(，b),3(x，得2ab)2,1(x；∵2ab⊥b，∴（2ab）·b=0，即0)2(31xx，解得x13或．5.C；解析：22201cos,12022bcaAAbc．6．B；解析：∵DBA,,三点共线，∴AB与BD共线，∴存在实数，使得ABBD；∵CBCDBD3e1e2（2e1+e2）=e12e2，∴e1ke2(e12e2)，∵e1、e2是平面内不共线的两向量，∴,2,1k解得2k.7．D；解析：由题意可知CABC与的夹角为12060180180000C,∴CABC=202185120cos0CABC.8．C；解析：012sin,sin2sinsin,sin,302baBBABAA或0150．9．B；解析：coscoscos,sincossincossincosaAbBcCAABBCC；∴sin2sin2sin2,2sin()cos()2sincosABCABABCC；∴cos()cos(),2coscos0ABABAB；∴cos0A或cos0B，得2A或2B；∴△ABC是直角三角形．10．D；解析：∵ba时,0ba,∴当0ba时不能得出0a或0b；∴①是错误的.∵ba是数量,所以b)c(a为一个向量,并且此向量与c共线；虽然c)a(b也是一个向量,但它与a共线；∴b)c(a不一定与c)a(b相等；∴②是错误的.∵22qpqp||||22，22cos||||)(22qpqp（为p与q的夹角）；∴当且仅当p//q时,222q)(pqp才成立；∴③是错误的.∴本题三种说法均不正确.11．A；解析：cabcba=））（（cacbbcbaca22=222cbcacabbcacba（*），∵∠C=60°，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab，∴a2+b2=ab+c2，代入（*）式得222cbcacabbcacba=112．D；解析：28)60180cos(20021222123FFFFF，所以723F.二、填空题13．)54,53(),54,53(；解析：因为|a|=54322)(,故所求的单位向量为),(),(54534351|a|a．14．(221,+∞)；解析：p与q的夹角)2,0[p•q02x210221x，即x(221,+∞).15．（-2，5）或（2，-5）；解析：设),(yxAB，则由222225||||yxABOA…………①，而又由ABOA得025yx…………②，由①②联立得5,25,2yxyx或.），（－或52)5,2(AB.16．16；解析：记拐弯处为点A，则已知即为△ABD中，AD=10,AB=14,BDA=60；设BD=x，则BDAADBDADBDBAcos2222，即60cos1021014222xx，整理得096102xx，解得161x，62x（舍去）；∴BD=16．三、解答题17．解：（1）∵b－2c(sin2cos,4cos8sin)，且a与b－2c垂直，∴4cos(sin2cos)sin(4cos8sin)0，即sincoscossin2(coscossinsin)，∴sin()2cos()，∴tan()2.（…………4分）（2）∵b+c(sincos,4cos4sin)，∴︱b+c︱22(sincos)(4cos4sin)12sincos1632cossin1715sin2，∴当sin21时，︱b+c︱取最大值，且最大值为3242.（……8分）（3）∵tantan16，∴sinsin16coscos，即sinsin16coscos，∴(4cos)(4cos)sinsin，即a(4cos,sin)与b(sin,4cos)共线，∴a∥b.（…………12分）18．解：（1）由(13)2cb得13sin22sinbBcC，则有55sin()sincoscossin666sinsinCCCCC=13132tan222C，解得tan1C，即4C.（…………6分）（2）由13CBCA推出cos13abC；而4C,∴2132ab,则有2132(13)2sinsinabcbacAC，解得2132abc.（……12分）19．解：如图，分别以等腰直角三角形AOB的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系，设aBaA2,0,0,2，则aCaD,0,0,，（0a）；（……3分）∴aaBDaaAC2,,,2,（…………6分）∵AC与BD的夹角为，∴aaaaaaBDACBDAC552,,2cos=545422aa，即AC与BD夹角的余弦值为45．（…………12分）20．解:（1）∵23(1)(ln)2OAxOBxyOC，且A、B、C是直线l上的不同三点，∴23(1)(ln)12xxy，∴23ln2yxx；（…………6分）（2）∵23()ln2fxxx，∴2131()3xfxxxx，（…………8分）∵23()ln2fxxx的定义域为(0,)，而231()xfxx在(0,)上恒正，∴()yfx在(0,)上为增函数，即()yfx的单调增区间为(0,)．（……12分）21．解：（1）由（a－c）（sinA+sinC）=（a－b）sinB，得（a－c）（a+c）=（a－b）b，∴a2－c2=ab－b2，∴a2+b2－c2=ab，∴cosC=abcba2222=21（…………4分）又∵0°＜C＜180°，∴C=60°（…………6分）（2）S=21absinC=21×23ab=43sinAsinB=43sinAsin（120°－A）=43sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=6sinAcosA+23sin2A=3sin2A－3cos2A+3=23sin（2A－30°）+3（…………10分）∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=33（…………12分）22．解：（1）f(x)=m•n=23sincoscos444xxx=311sincos222