韶钢六中2012届高三月考数学（文）试题

韶钢六中2012届高三月考数学（文）试题2011-10-19一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|11,}MxxxZ,{0,1,2}N，则MN为（D）A.{1}B.{0,1,2}C.{|01}xxD.{0,1}2．已知1(,,),1abiabiabi是实数是虚数单位则(B)A．—1B．3C．1D．23.已知向量1,1a，1,bn，若||abab，则n(C)A.3B.1C.0D.14．在等差数列na中，若232aa，456aa，则56aa(A)A.8B.10C.12D.145．已知函数2cos()(0)yx的最小正周期为,那么=(D)A．13B．12C．1D．26．已知命题p：xR，5cos4x；命题q：2,10xRxx.则下列结论正确的是(C)A．命题pq是真命题B．命题pq是真命题C．命题pq是真命题D．命题pq是假命题7.抛物线24yx的焦点坐标为(D)A.(0,2)B.(2,0)C.(0,1)D.(1,0)8.如图,是青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图，(C)去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为A．85B．86C．87D．889．已知a，b是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面,下列命题中正确的是(C)A.//ab，//b，则//aB.a，b，//a，//b，则//C.a，//b，则abD.当a，且b时，若b∥，则a∥b10.一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为(A)A.827B.271C.2627D.1527二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)(一)必做题(11-13题)11.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.12已知三数x+log272，x+log92，x+log32成等比数列，则公比为13，图中是一个算法流程图，则输出的n=．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题,两题全答的，只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选做题)圆C的极坐标方程2cos化为直角坐标方程222侧（左）视图222正（主）视图俯视图(第13题图)开始是输出n否n←.1，S←0S2011S←S+2nn←n+1结束为，该圆的面积为．15．（几何证明选讲）已知PA是圆O的切线，切点为A，直线PO交圆O于,BC两点，2AC,120PAB，则圆O的面积为．三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本题满分12分)在△ABC中，a2+c2=2b2，其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边长．(1)求证：B≤3；(2)若4B，且A为钝角，求A．解(1)由余弦定理，得222cos24acbacBacac22．……………………………………3分因22acac2≥，1cos2B≥．………………………………………………………6分由0＜B＜π，得3B≤，命题得证．……………………………………………7分(2)由正弦定理，得222sin+sin=2sinACB．…………………………………………10分因4B，故22sinB=1，于是22sin=cosAC．……………………………………12分因为A为钝角，所以3sin=cos=cos()=sin()44ACAA．所以()4AA(=4AA，不合，舍)．解得5=8A．…………………14分17．(本题满分12分)某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：组号分组频数频率第一组230,23580.16第二组235,240①0.24第三组240,24515②ABCDEA1B1C1(第18题图)第四组245,250100.20第五组[250,255]50.10合计501.00(1)写出表中①②位置的数据；(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；(3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．解：(1)①②位置的数据分别为12、0.3；………………………………………………4分(2)第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1；…………………………………8分(3)设上述6人为abcdef(其中第四组的两人分别为d，e)，则从6人中任取2人的所有情形为：{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}共有15种．…………………………………………………………………………10分记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数有9种．…………………………………………………………………………………12分所以93()155PA，故2人中至少有一名是第四组的概率为35．18．(本题满分14分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中．(1)若BB1=BC，B1C⊥A1B，证明：平面AB1C平面A1BC1；(2)设D是BC的中点，E是A1C1上的一点，且A1B∥平面B1DE，求11AEEC的值．解：(1)因为BB1=BC，所以侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1．…………………3分又因为B1C⊥A1B，且A1B∩BC1=B，所以BC1⊥平面A1BC1，…………………5分又B1C平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1．……………………………7分(2)设B1D交BC1于点F，连结EF，则平面A1BC1∩平面B1DE＝EF．因为A1B//平面B1DE，A1B平面A1BC1，所以A1B//EF．…………………11分所以11AEEC＝1BFFC．又因为1BFFC＝1112BDBC，所以11AEEC＝12．………………………………………19．(本题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221xyab(a＞b＞0)的离心率为22，其焦点在圆x2+y2=1上．(1)求椭圆的方程；(2)设A，B，M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使cossinOMOAOB．(i)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；(ii)求OA2+OB2．解：(1)依题意，得c=1．于是，a=2，b=1．……………………………………2分所以所求椭圆的方程为2212xy．………………………………………………4分(2)(i)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则221112xy①，222212xy②．又设M(x，y)，因cossinOMOAOB，故1212cossin,cossin.xxxyyy…………7分因M在椭圆上，故221212(cossin)(cossin)12xxyy．整理得22222212121212()cos()sin2()cossin1222xxxxyyyy．将①②代入上式，并注意cossin0，得121202xxyy．所以，121212OAOByykkxx为定值．………………………………………………10分(ii)2222222222121212121212()()(1)(1)1()222xxxxyyyyyyyy，故22121yy．又22221212()()222xxyy，故22122xx．所以，OA2+OB2=22221122xyxy=3．…………………………………………16分20．(本题满分14分)已知数列{an}满足：a1=a2=a3=2，an+1=a1a2…an-1(n≥3)，记22221212nnnbaaaaaa(n≥3)．(1)求证数列{bn}为等差数列，并求其通项公式；(2)设221111nnncbb，数列{nc}的前n项和为Sn，求证：nSnn+1．解：(1)方法一当n≥3时，因22221212nnnbaaaaaa①，故22221121121nnnnnbaaaaaaaa②．……………………………………2分②-①，得bn-1-bn-2=21121(1)nnnaaaaa=2111(1)(1)nnnaaa=1，为常数，所以，数列{bn}为等差数列．…………………………………………………………5分因b1=222123123aaaaaa=4，故bn=n+3．……………………………………8分方法二当n≥3时，a1a2…an=1+an+1，a1a2…anan+1=1+an+2，将上两式相除并变形，得21211nnnaaa．……………………………………2分于是，当n∈N*时，222122122nnnbaaaaaa2221235432122(1)(1)nnnaaaaaaaaaa222123343(1)(1)nnaaaaana410na．又a4=a1a2a3-1=7，故bn=n+3(n∈N*)．所以数列{bn}为等差数列，且bn=n+3．………………………………………………8分(2)方法一因nc22111(3)(4)nn222((3)(4)1)(3)(4)nnnn，…………………12分故nc(3)(4)1(3)(4)nnnn11(3)(4)nn11134nn．所以111111(1)(1)(1)455634nSnn1144nn，………15分即n＜Sn＜n+1．………………………………………………………………………16分方法二因221111(3)(4)ncnn，故nc1，nSn．……………………10分22111111(3)(4)(2)(3)(3)(4)ncnnnnnn=11124nn112n21(1)2n，故nc112n，于是1(1)12nSnnn．…………………………………21．(本题满分14分)设函数f(x)=ax3-(a+b)x2+bx+c，其中a＞0，b，c∈R．(1)若1()3f=0，求函数f(x)的单调增区间；(2)求证：当0≤x≤1时，|()fx|≤max{(0),(1)}ff．(注：max{a，b}表示a，b中的最大值)解：(1)由1()3f=0，得a=b．…………………………………………………………1分故f(x)=ax3－2ax2+ax+c．由()fx=a(3x2－4x+1)=0，得x1=13，x2=1．…………………………………………2分列表：x(-∞，13)13(13，1)1(1，+∞)()fx+0-0+f(x)增极大值减极小值增由表可得，函数f(x)的单调增区间是(-∞，13)及(1，+∞)．…………………………4分(2)()fx=3ax2-2(a+b)x+b=3222()33abababaxaa．①当1,033ababaa≥或≤时，则()fx在[0,1]上是单调函数，所以(1)f≤()fx≤(0)f，或(0)f≤()fx≤(1)f，且(0)f+(1)f=a0．所以|()fx|≤max{(0),(1)}ff．………………………………………………………8分②当013aba＜＜，即-a＜b＜2a，则223ababa≤()fx≤max{(0),(1)}ff．(i)当-a＜b≤