高一年段数学培优教材（3）

福鼎一中高一年段数学培优教材高一数学备课组第三讲三角恒等变换一、基础知识：1．三角的恒等变化：要注意公式间的内在联系和特点，审题时要善于观察差异，寻找联系，实现转化；要熟悉公式的正用和、逆用和变形应用。化简三角函数式可以采用“切化弦”来减少函数种类，采用“配方法”和“降次公式”来逐步降低各项次数，并设法去分母、去根号、利用特殊值来向目标靠拢。2．常见的变形公式：1sincossin22221cos2cos1cos2sin2222221sin(sincos)2sin()1sin(sincos)2sin()22242224tantantan()[1tantan]22sincossin()axbxabx3．通过对角的变换推出万能公式和半角公式以及和差与积的互化公式。如常见的角的拆并有2()(),(),,(),)2266424（等二、综合应用：例1：已知角的终边上一点(2sin3,2cos3)P，则的弧度数为_____________已知322,cot22，则3cotcot22_________________函数23sincossin()3yxxxxR的最大值是____________________化简42212cos2cos22tan()sin()44xxxx____________________________例2：已知1sincos4，求cossin的取值范围。例3：求22sin20cos50sin20cos50的值。例4：已知222()sinsin()sin(),f其中,是适合0的常数，试问,取何值时，()f的值恒为定值？例5：求值：cot15cot25cot35cot85例6：已知,(0,),sincsccos()2；（1）求证：2sincostan1sin；（2）求tan的最大值，并求当tan取得最大值时tan()的值。例7：已知0,2，且sin()2sin，求证：例8：已知当[0,1]x时，不等式22cos(1)(1)sin0xxxx恒成立，求的取值范围。三、强化练习：1.若角满足条件sin20，cossin0，则在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2.以下命题正确的是()（A），都是第一象限角，若coscos，则sinsin（B），都是第二象限角，若sinsin，则tantan（C），都是第三象限角，若coscos，则sinsin（D），都是第四象限角，若sinsin，则tantan3.若43x，则2cos12cos1xx等于（A）)24cos(2x（B）)24cos(2x（C）)24sin(2x（D）)24sin(2x4.在（0，2）内，使xxxtansincos成立的x的取值范围是（A）（4，43）（B）（45，23）（C）（23，2）（D）（23，47）5.设，是一个钝角三角形的两个锐角，则下列四个不等式中不正确的是（A）1tantan（B）2sinsin（C）1coscos（D）2tan)tan(216.已知22cos()cossin，则sin(2)sin的值为()A．0B．1C.2sinD．以上都不对7.在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tantan3tantan2222ACAC__________8.已知点P(sincos，tan)在第一象限，则在[0，2)内的取值范围是____________9.cot104cos10的值为10.已知2sin2sin2coscos21,(0,)2，求sin,tan的值。11.已知cos(α-2)=19,sin(2-β)=23,2＜α＜π,0＜β＜2,求cos(α+β)之值.12.求值：2345coscoscoscoscos111111111113.是否存在锐角,，使得①223；②tantan232同时成立？若存在，求出,的值；若不存在，说明理由。参考答案：例1：32,2kk;6(31);36;1cos22x例2：法1：11cossin13341sin()1,1sin()1cossin1441cossin14法2：2222222117cossin(1sin)(1cos)1(sincos)[(sincos)2sincos]161629933(sincos),sincos161644例3：多种方法。（构造对偶式）设2222sin20cos50sin20cos502sin70cos20sin50cos20sin50aabb1113cos40cos100sin(30)2sin70sin30sin70,222224abaa例4：31()[12cos()cos()]cos2[sin()sin()]sin222f()f恒为定值，12cos()cos()0sin()0sin()cos()，考虑到0122cos(),0,,2333（提示：本题也可以用赋值法：令0,,,,(0)()()()22ffff）例5：1（本题要总结公式sin34sinsin(60)sin(60)cos34coscos(60)cos(60)tan3tantan(60)tan(60)例6：（2）2tan112tan(tan)122tan1222tantan例7：2sinsincoscossinsinsinsinsin例8：令0x则sin0，令1x则cos0故原不等式化为2sin02sin1(1sincos)(2sin1)sin0,(0,1),cos01sincos0xxsin05cos0(2,2),12121sin22kkkZ强化练习：1.B2.D3.C4.C5.D6.A7.38.5(,)(,)4249.310.13sin,tan2311.+75239cos,cos()22772912.13213.存在,64